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ÍNDICE : · Introducción · Número factorial · Variaciones · Permutaciones · Combinaciones · Números combinatorios · Triángulo de Tartáglia · Binómio de Newton Introducción : La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas . Una forma de hacer estos recuentos es utilizar los diagramas en árbol . Estos recuentos están intimamente relacionados con la probabilidad . Número factorial : es el producto de nos consecutivos naturales n! = (n)·(n-1)·(n-2)·.........3·2·1 Todo producto tiene al menos dos factores , luego debemos admitir que 0! = 1 y que 1! = 1 Variaciones ordinarias : Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n ( n m ) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que : · los n elementos que forman el grupo son distintos ( no se repiten ) · Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados ( influye el orden ) . Vm,n =
Variaciones con repetición : se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que : · los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos · Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos están colocados ( influye el orden ) . VRm,n = mn Permutaciones ordinarias : se llama permutaciones de m elementos a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que : · en cada grupo intervienen los m elementos sin repetirse ninguno (intevienen todos los elementos ) · dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos m elementos es distinto ( influye el orden ) .
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Pm = m! Permutaciones con repetición : se llama permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercer c .......... a los distintos qrupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que : · intervienen todos los elementos · dos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos . PRma,b,c... =
Combinaciones : se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n ( n m ) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que : · cada agrupación está formada por n elementos distrintos entre sí · dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden . Cm,n = = = número combinatorio Combinaciones con repetición : se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n , a los distintos grupos formados por n elementos de manera que : · los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos · dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden . CRm,n =
Por ejemplo las combinaciones con repetición de los elementos (a,b,c,d) tomados de dos en dos son : aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd Otro ejemplo : en una bodega hay 12 botellas de ron , 12 de ginebra y 12 de anís .Un cliente compró 8 botellas en total . ¿Cuántas posibilidades hay ? CR8,3 = 120 Resumen : 2
Intervienen todos los elementos Permutaciones Influye el orden Variaciones No intervienen todos los elementos No influye el orden Combinaciones Números combinatorios : se llama número combinatorio de índice m y orden n al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n tales que n m.
=
Propiedades : · = =1 · =
· + = · + +................+
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=
Triángulo de Tartaglia o Pascal :
1 4
11 121 1331 14641 Binomio de Newton : (a + b) = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 ........................................... Si nos fijamos atentamente , los coeficientes coinciden con los del triángulo de Pascal , los exponentes de a van disminuyendo desde n hasta 0 y los de b van aumentando desde 0 hasta n , y en cada término la suma de los exponentes de a y b es igual a n . Generalizando : (a + b)n = anb0 + an-1b1 + ......................+ a1bn-1 + a0bn ÍNDICE · Definición de Estadística · Conceptos generales · Tratamiento de la información · Representación de los datos · Medidas de centralización · Medidas de dispersión · Estadística bidimensional · Correlación · Regresión Definición de Estadística : la palabra estadística procede del vocablo "estado" pues era función principal de los gobiernos de los estados establecer registros de población , nacimientos , defunciones , etc . Hoy en día la 5
mayoría de las personas entienden por estadística al conjunto de datos , tablas , gráficos , que se suelen publicar en los periodicos . En la actualidad se entiende por estadística como un método para tomar decisiones , de ahí que se emplee en multitud de estudios científicos . La estadística se puede dividir en dos partes : · Estadística descriptiva o deductiva , que trata del recuento , ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones . Se construyen tablas y se representan gráficos , se calculan parámetros estadísticos que caracterizan la distribución , etc. · Estadística inferencial o inductiva , que establece previsiones y conclusiones sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra . Se apoya fuertemente en el cálculo de probabilidades . Población : es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica . Ejemplo : alumnos matriculados en COU en toda España . Muestra : cualquier subconjunto de la población . Ejemplo : alumnos de COU del Sotomayor . Carácter estadístico : es la propiedad que permite clasificar a los individuos , puede haber de dos tipos : · Cuantitativos : son aquellos que se pueden medir . Ejemplo : nº de hijos , altura , temperatura . · Cualitativos : son aquellos que no se pueden medir . Ejemplo : profesión , color de ojos , estado civil . Variable estadística : es el conjunto de valores que puede tomar el carácter estadístico cuantitativo ( pues el cualitativo tiene "modalidades'' ) . Puede ser de dos tipos : · Discreta : si puede tomar un número finito de valores . Ejemplo : nº de hijos · Continua : si puede tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo . Ejmplo : temperatura , altura . Frecuencia absoluta fi : ( de un determinado valor xi ) al número de veces que se repite dicho valor . Frecuencia absoluta acumulada Fi : ( de un determinado valor xi ) a su frecuencia absoluta más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores . Frecuencia relativa hi : es el cociente fi/N , donde N es el número total de datos . Frecuencia relativa acumulada Hi : es el cociente Fi/N Si las frecuencias relativas las multiplicamos por 100 obtenemos los % . Tratamiento de la información : se deben de seguir los siguientes pasos : · recogida de datos · ordenación de los datos · recuento de frecuencias · agrupación de los datos , en caso de que sea una variable aleatoria continua o bien discreta pero con un número de datos muy grande se agrupan en clases . Nº de clases = 6
Los puntos medios de cada clase se llaman marcas de clase . Además se debe adoptar el criterio de que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha . · construcción de la tabla estadística que incluirá , clases , marca de clase , fi , Fi , hi , Hi . Ejemplo : Las notas de Matemáticas de una clase han sido las siguientes : 534128987667987710159980888957 Construir una tabla : xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 fi 2 3 1 1 1 3 2 5 7 5 30 Fi 2 5 6 7 8 11 13 18 25 30 hi 2/30 3/30 1/30 1/30 1/30 3/30 2/30 5/30 7/30 5/30 1 Hi 2/30 5/30 6/30 7/30 8/30 11/30 13/30 18/30 25/30 30/30
Representaciones gráficas : para hacer más clara y evidente la información que nos dan las tablas se utilizan los gráficos , que pueden ser : · Diagramas de barras ( datos cualitativos y cuantitativos de tipo discreto ) . En el eje y se pueden representar frecuencias absolutas o relativas . · Histogramas ( datos cuantitativos de tipo continuo o discreto con un gran número de datos ) . El histograma consiste en levantar sobre cada intervalo un rectángulo cuyo área sea igual a su frecuencia absoluta área = base · altura fi =
luego la altura de cada rectángulo vendrá dada por ni que se llama función de densidad . Si por ejemplo un intervalo es doble de ancho que los demás su altura ni debe ser la mitad de la frecuencia absoluta y así no se puede inducir a errores . Normalmente la amplitud de los intervalos es cte por lo que ni será proporcional a fi y por tanto podemos tomar fi como la altura ni ya que la forma del gráfico será la misma , aunque ahora el área del rectángulo ya no sea exactamente la frecuencia absoluta ( a no ser que la amplitud del intervalo sea igual a 1 ) .
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· Polígono de frecuencias · Diagrama de sectores · Cartogramas · Pirámides de población · Diagramas lineales · Pictogramas CÁLCULO DE PARÁMETROS : Medidas de centralización : · Media aritmética :
si son pocos datos
si son muchos valores pero se repiten mucho En el caso de que los datos estén agrupados en clases , se tomará la marca de clase como xi . No siempre se puede calcular la media aritmética como por ejemplo cuando los datos son cualitativos o los datos están agrupados en clases abiertas . Ejemplo : hacer los cálculos para el ejercicio de las notas · Moda : es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta . Puede haber más de una . Cuando los datos están agrupados en clases se puede tomar la marca de clase o utilizar la fórmula : M0 = Linf + donde : Linf = límite inferior de la clase modal , =amplitud del intervalo , d1= diferencia entre la fi de la clase modal y la fi de la clase anterior y d2 = diferencia entre la fi de la clase modal y la fi de la clase posterior . También se puede hacer gr
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