Normas Vectoriales y Matriciales: Propiedades y Cálculo de la Norma - Prof. Donat Beneito, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Normas Vectoriales y Matriciales: Propiedades y Cálculo de la Norma - Prof. Donat Beneito y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Normes vectorials. Normes Matricials subordinades Rosa Donat Rosa Donat Normes de vectors || · || : Rn → R norma vectorial: 1 ||x || = 0 ↔ x = 0 2 ||αx || = |α|||x ||, ∀α ∈ R 3 ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y || Normes vectorials mes usuals: 1 x ∈ Rn, ||x ||∞ = máx 1≤i≤n {|xi |} 2 x ∈ Rn, ||x ||1 = ∑n i=1 |xi | 3 x ∈ Rn, ||x ||2 = (∑n i=1 |xi |2 ) 1 2 Teorema Totes les normes a Rn són equivalents. Rosa Donat Matrius Ortogonals Definició Q ∈ Rn×n es ortogonal sii QTQ = QQT = In Les files/columnes de una martiu ortogonal formen una base ortonormal de Rn. ∀x ∈ Rn, ||Qx ||2 = ||x ||2 ||Q||2 = 1 ∀A ∈ Rn×n, ||QA||2 = ||AQ||2 = ||A||2 Exemple: Rotació de 450 en R2 Q = (√ 2/2 − √ 2/2√ 2/2 √ 2/2 ) Rosa Donat El càlcul de ||A||2 A ∈ Rn×n, ||A||2 = sup x 6=0 ||Ax ||2 ||x ||2 = √ ρ(ATA) ρ(A) = máx{|λ|, λ valor propi de A} radi espectral de A Valors i vectors propis Ax = λx 1 λ, valor propi de A ∈ Rn×n, λ ∈ C, en general 2 Per a treballar amb valors i vectors propis és necessari considerar el producte escalar en Cn 3 Si A ∈ Rn×n és simétrica i λ es un valor propi, aleshores λ ∈ R Rosa Donat