Análisis Matemático: Propiedades de Matrices - Prof. González Miranda, Ejercicios de Álgebra Lineal

¡Descarga Análisis Matemático: Propiedades de Matrices - Prof. González Miranda y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! PROPIETATS I EINES D’ÀLGEBRA MATRICIAL PER ESTADÍSTICA Francesc Oliva Esteban Vegas Departament d’Estad́ıstica October 5, 1994 1 Index 1 Resum de propietats d’àlgebra vectorial 1 2 Resum de propietats d’àlgebra matricial 3 3 Diagonalització: valors propis i vectors propis 8 4 Descomposició en valors singulars 11 5 Inversa Generalitzada 14 6 Algunes matrius d’interes per estad́ıstica 17 7 Bibliografia 18 i 2 Resum de propietats d’àlgebra matricial 1. Alguns tipus de matrius (a) Rectangular: An×p, n 6= p (b) Quadrada: Ap×p, també denominada com Ap (c) Diagonal: Dp = diag(a11 a22 . . . app) aij = 0, i 6= j (d) Identitat: Ip = diag(1p) on 1p és el vector unitat de dimensió p (e) Escalar: Dp = diag(λ1p) on λ ∈ < (f) Simètrica: Ap, aij = aji (g) Triangular superior: Ap, aij = 0 si i > j (h) Triangular inferior: Ap, aij = 0 si i < j (i) Unitat: Jp = 11 ′, aij = 1 (j) Nula: 0n×p, aij = 0 2. Suma de matrius i multiplicació per escalars (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) kA = Ak (d) k1(k2A) = (k1k2)A (e) (k1 + k2)A = (k1A) + (k2A) (f) A + 0 = A (g) A + (−A) = 0 3. Producte de matrius (a) En general AB 6= BA encara que A i B siguin matrius quadrades. (b) (AB)C = A(BC) (c) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC 3 (d) A(kB) = (kA)B = k(AB) (e) AB = AC NO implica B = C excepte si existeix A−1 (f) AB = 0 NO implica A = 0 o B = 0 excepte si existeix A−1 o B−1 (g) A,B simétricas NO implica que AB sigui simétrica 4. Transposició (a) (A′)′ = A (b) (A + B)′ = A′ + B′ (c) (kA)′ = kA′ (d) (ABC)′ = C′B′A′ (e) A és simétrica si A′ = A (f) AA′ i A′A són simétricas (g) Si A és cuadrada A + A′ és simétrica 5. Traça (Suma dels elements situats en la diagonal principal d’una ma- triu quadrada) (a) tr(AB) = tr(BA) (b) tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) (c) tr(rA + sB) = r tr(A) + s tr(B) 6. Determinant (a) Diem que A és singular si |A| = 0 (b) Si A∗ és la matriu obtinguda al intercanviar dues files (columnes) qualsevols de A aleshores |A∗| = − |A| (c) Si dues files (columnes) de A són proporcionals aleshores |A| = 0 (d) A∗ és la matriu obtinguda al multiplicar una fila (columna) de A per un escalar p aleshores |A∗| = p |A| 4 (e) |A′| = |A| (f) |pA| = pn |A| (g) En general |A + B| 6= |A|+ |B| (h) |AB| = |A| |B| = |B| |A| = |BA| (i) Si a una fila (columna) de A sumem un altre fila (columna) de A multiplicada per un escalar, el determinant de la matriu resultant és igual 7. Inversa (a) Si A−1 existeix és única (b) (A−1)−1 = A (c) (A′)−1 = (A−1)′ (d) En general (A + B)−1 6= A−1 + B−1 (e) (ABC)−1 = C−1B−1A−1 (f) Si A és simétrica també ho és A−1 8. Matrius ortogonals (A′ = A−1) (a) AA′ = A′A = I (b) A′ és ortogonal (c) A−1 és ortogonal (d) Si A i B són ortogonals, aleshores AB i BA són ortogonals (e) |A| = ±1 9. Matrius idempotents (AA = A) (a) Si A és idempotent i Q és ortogonal del mateix ordre Q′AQ és idempotent (b) B = I−A és idempotent 5 3 Diagonalització: valors propis i vectors pro- pis Sigui A una matriu quadrada d’elements reals d’ordre p. Diem que v és un vector propi de A de valor propi λ si Av = λv Els valors propis s’obtenen solucionant l’equació |A− λI| = 0 anomenada equació caracteŕıstica. Q(λ) = |A− λI| és el polinomi o funció caracteŕıstica i les p rels són per tant els valors propis. Si λi és un valor propi, el vector (o vectors) propi associat s’obté al resoldre el sistema d’equacions (A− λiI)vi = 0 amb la condició v′ivi = 1 si es vol estandaritzat. La matriu A és aleshores diagonalitzable si pot expressar-se mitjançant la descomposició A = VDV−1 o el que és equivalent D = V−1AV, essent D = diag(λ1, ..., λp) i V = (v1, ...,vp). Atenció: alguns valors propis poden repetir-se o ser zero. A més alguns valors propis o components dels vectors propis poden ser complexes. Dues propietats molt importants són: • tr(A) = tr(D) = ∑pi=1 λi • |A| = |D| = ∏pi=1 λi 8 Si A és simétrica aleshores sempre és diagonalitzable ortogonalment, és a dir, A = TDT′ on T és ortogonal. A més és compleixen les següents propietats • els valors propis i els vectors propis són sempre reals • si A no és singular aleshores per qualsevol sencer n An = TDnT′ essent Dn = diag(λni ). Si tots els valors propis són positius podem definir les poténcies Ar/s = TDr/sT′ per r, s²Z, s > 0. Si hi han valors propis iguals a zero aleshores encara poden definir-se les poténcies d’exponents no negatius. Exemples 1. Sigui la matriu A =   8 1 6 3 5 7 4 9 2   L’equació caracteŕıstica és |A− λI| = ∣∣∣∣∣∣∣ (8− λ) 1 6 3 (5− λ) 7 4 9 (2− λ) ∣∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 15λ2 − 24λ + 360 = 0 Les solucions (valors propis) són λ1 = 15, λ2 = 4.899, λ3 = −4.899. La matriu de vectors propis és V = (v1v2v3) =   .5774 .8131 −.3624 .5774 −.4714 −.5000 .5774 −.3416 .8624   9 2. Sigui la matriu simétrica A =   10 7 9 7 6 8 9 8 13   L’equació caracteŕıstica és |A− λI| = ∣∣∣∣∣∣∣ (10− λ) 7 9 7 (6− λ) 8 9 8 (13− λ) ∣∣∣∣∣∣∣ = λ3− 29λ2 + 74λ− 25 = 0 Els valors propis són λ1 = 26.2134, λ2 = 2.3871, λ3 = 0.3995. La matriu de vectors propis és V = (v1v2v3) =   .5746 .7361 .3578 .4654 .0657 −.8826 .6732 −.6737 .3048   10 ∆ = diag( √ 274.5747, √ 23.4253) = ( 16.5703 0 0 4.8400 ) Finalment U = AV∆−1 =   .6902 −.4719 .6738 .6955 .2639 −.5418   13 5 Inversa Generalitzada Sigui A una matriu n × p, A− és una g-inversa (també anomenada inversa generalitzada o seudoinversa) d’A si AA−A = A Una g-inversa sempre existeix encara que en general no és única. Métodes per trobar-les 1. Utilitzan el teorema de descomposició en valors singulars per An×p, és a dir, A = U∆V′. La g-inversa s’obtendria com: A− = V∆−1U′ 2. Si r(A) = r, reordenant les files i columnes d’ An×p i fent una partició d’A tal que A11 sigui una matriu no singular d’ordre r× r. Es verifica que A− = ( A−111 0 0 0 ) és una g-inversa. 3. Si Ap×p és no singular aleshores A− = A−1 i és única. 4. Si Ap×p és simétrica de rang r, aleshores A és diagonalitzable ortogo- nalment, és a dir, A = T D T’ on T és la matriu dels vectors propis ortonormals posats en columna corresponents als valors propis diferents de zero D = diag(λ1, λ2, . . . , λr). Llavors obtenim una g-inversa com A− = TD−1T′ 14 Inversa de Moore-Penrose ó Pseudoinversa Es aquella matriu, A+, que cumpleix la condició d’inversa generalitzada i a més les següents propietats: AA+A = A, AA+ i A+A són simétriques, A+AA+ = A+ L’inversa de Moore-Penrose és única i s’obté a partir de la descomposició en valors singulars (veure métode 1) i coincideix amb la matriu inversa si A és quadrada i no singular. Exemple Sigui la matriu A =   6 10 10 6 1 5   1) Pel teorema de descomposició en valors singulars, A = U∆V′ (ver exem- ple d’aquesta secció), obtenim: A =   .6902 −.4719 .6738 .6955 .2639 −.5418   ( 16.5703 0 0 4.8400 ) ( .6725 .7401 .7401 −.6725 ) Aleshores, A+ = A− = V∆−1U′ queda com A+ = ( .6725 .7401 .7401 −.6725 ) ( 1/16.5703 0 0 1/4.8400 ) ( .6902 .6738 .2639 −.4719 .6955 −.5418 ) Aquesta inversa és la de Moore-Penrose i és única. 2) Agafant una partició de A, A11, que sigui una matriu no singular cua- drada r × r, amb r(A) = r. Aix́ı, una possible A11 seria: A11 = ( 6 10 10 6 ) 15