Juegos cooperativos, Ejercicios de Economía

¡Descarga Juegos cooperativos y más Ejercicios en PDF de Economía solo en Docsity! Juegos cooperativos 4.1 Introducción Bloque 4. Juegos cooperativos Ejemplo 1 Dos empresas compiten a la Cournot en un mercado con un producto homogéneo y función demanda p = 130 − q. Ambas empresas tienen costes marginales constantes e iguales a 10. En caso de cooperar y formar un monopolio, ¿Cómo deberían repartirse los beneficios? Observad que, descartamos el comportamiento estratégico y permitimos que las empresas alcancen acuerdos vinculantes. Ejemplo 2 Dos empresas compiten a la Cournot en un mercado con un producto homogéneo y función demanda p = 210 − q. Ambas empresas tienen costes marginales constantes pero distintos CM1 = 10 y CM2 = 20. Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.1 Introducción Juegos cooperativos. Introducción En este último bloque, asumiremos que los jugadores se coordinan para maximizar la utilidad conjunta. La principal novedad de los juegos cooperativos es que los agentes pueden llegar a acuerdos vinculantes. Juego cooperativo Un juego cooperativo entre un conjunto de n jugadores, N = {1, . . . , n}, especifica la utilidad que cada subconjunto de jugadores puede asegurarse (independientemente de lo que haga el resto). A esta utilidad la denominaremos valor de la coalición. Formalmente, un juego es una función v que asigna a cada coalición S ⊆ N, un valor v(S) ∈ R. Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.1 Introducción Ejemplo 4 Una persona rica muere dejando un millón de euros de herencia. En el testamento indica que su voluntad es dejar su herencia a sus tres sobrinos siempre y cuando al menos dos de ellos se pongan de acuerdo sobre la forma de repartirlo. En caso de que no se pongan de acuerdo donará la herencia a una ONG. Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.1 Introducción Ejemplo 5 Tres jugadores quieren repartirse los beneficios de vender un par de guantes. El jugador 1 posee un guante izquierdo y los jugadores 2 y 3 poseen un guante derecho cada uno. Un par de guantes puede venderse por 10 euros. Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.2 Racionalidad individual Racionalidad individual No todas las distribuciones eficientes son ‘‘buenas’’. Imputación Dado un juego cooperativo (N, v), decimos que una distribución x ∈ Rn satisface racionalidad individual si a cada jugador le asigna al menos la cantidad que puede obtener por sus propios medios. Es decir, si para cualquier jugador i ∈ N, xi ≥ v(i) Al conjunto de distribuciones eficientes e individualmente racionales lo denominamos conjunto de imputaciones: I(N, v) = x ∈ Rn :∑ i∈N xi = v(N) y xi ≥ v(i)  . Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.3 Racionalidad coalicional. El core Ejemplo 7 Considera el siguiente juego cooperativo: N = {1, 2, 3} y v(1) = 0 v(12) = 8 v(2) = 0 v(13) = 8 v(123) = 9 v(3) = 0 v(23) = 8 Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.3 Racionalidad coalicional. El core El core. Comentarios El core de un juego puede ser vacío, puede ser un único punto o un conjunto de infinitos puntos. El core es siempre un conjunto compacto y convexo. Queda determinado por sus vértices ya que el resto de puntos son combinaciones convexas de los mismos. Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.4 El valor de Shapley El valor de Shapley Supondremos que se formará la gran coalición. Los jugadores irán formándola de uno en uno en un determinado orden (ω). En cada paso, el jugador que entra en la coalición recibe su contribución marginal a la coalición que había hasta entonces. Así, obtenemos una propuesta de reparto (eficiente) para cada posible orden (mω(v)). El valor de Shapley se obtiene asumiendo que todos los posibles ordenes (ω ∈ Ωn) son igual de probables: φ(N, v) = 1 n! ∑ ω∈Ωn m ω(v). Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.4 El valor de Shapley Propiedades del valor de Shapley Dado un juego cooperativo (N, v), decimos que un jugador i ∈ N es nulo si no añade valor a ninguna coalición. Es decir, si para toda S ⊆ N, v(S) = v(S ∪ {i}) Propiedad de jugador nulo El valor de Shapley asigna cero a cualquier jugador nulo. Dado un juego cooperativo (N, v), decimos que dos jugadores i, j ∈ N son simétricos si añaden el mismo valor a todas las coaliciones. Es decir, si para toda S ⊆ N \ {i, j}, v(S ∪ {i}) = v(S ∪ {j}) Simetra El valor de Shapley asigna lo mismo a jugadores simétricos. Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía Juegos cooperativos 4.4 El valor de Shapley Propiedades del valor de Shapley Aditividad Dados dos juegos cooperativos (N, v) y (N,w), φ(N, v + w) = φ(N, v) + φ(N,w). Eficiencia El valor de Shapley propone un reparto de v(N). Teorema El valor de Shapley es el único valor que cumple eficiencia, additividad, simetría y la propiedad de jugador nulo. Álvarez Mozos, Mikel Teoría de Juegos y aplicaciones económicas. Grado en Economía