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Profesor: Carlos Ivorra

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Carlos Ivorra Castillo FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA ´ CON APLICACIONES A LA TEOR´ DE NUMEROS IA El camino m´s corto entre dos verdades del a an´lisis real pasa por el an´lisis complejo. a a Jacques Hadamard ´ Indice General Introducci´n o Cap´ itulo I: El plano complejo 1.1 Funciones de variable compleja . . . . 1.2 Transformaciones de M¨bius . . . . . . o 1.3 Las funciones trigonom´tricas inversas e 1.4 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 ´ Indices de arcos cerrados . . . . . . . . ix 1 3 8 12 17 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap´ itulo II: Funciones holomorfas 25 2.1 Derivaci´n de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 o 2.2 La integral curvil´ inea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 El teorema y las f´rmulas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 41 o Cap´ itulo III: Series de Taylor 3.1 Series . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Convergencia casi uniforme . . . . 3.3 Series de potencias . . . . . . . . . 3.4 Consecuencias de los desarrollos de 49 50 56 62 68 . . . . . . . . . . . . Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap´ itulo IV: Productos infinitos 4.1 Productos num´ricos . . . . . . . . . . e 4.2 Productos de funciones . . . . . . . . . 4.3 Factorizaci´n de funciones holomorfas o 4.4 N´meros de Bernoulli . . . . . . . . . u 4.5 La f´rmula de Stirling . . . . . . . . . o Cap´ itulo V: El teorema de Cauchy 5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . . 5.2 Abiertos simplemente conexos . . . . . 5.3 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . 5.4 Clasificaci´n de singularidades aisladas o 5.5 Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . o 5.6 El teorema de Runge . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 . 80 . 84 . 91 . 99 . 106 111 111 116 120 126 133 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi ´ INDICE GENERAL Cap´ itulo VI: La funci´n factorial o 145 6.1 Construcci´n de la funci´n factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 o o 6.2 Otras expresiones para la funci´n factorial . . . . . . . . . . . . . 149 o 6.3 El teorema de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Cap´ itulo VII: Series de Dirichlet 7.1 Convergencia de las series de Dirichlet 7.2 Funciones aritm´ticas . . . . . . . . . e 7.3 Permutaciones circulares . . . . . . . . 7.4 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . 7.5 La distribuci´n de los n´meros primos o u Cap´ itulo VIII: El teorema de los residuos 8.1 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Aplicaciones al c´lculo de integrales . a 8.3 El teorema de Rouch´ . . . . . . . . . e 8.4 Sumas de Gauss cuadr´ticas . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 160 169 181 184 194 217 217 220 236 244 255 256 259 267 272 Cap´ itulo IX: Funciones Harm´nicas o 9.1 Relaci´n con las funciones holomorfas . o 9.2 Propiedades de las funciones harm´nicas o 9.3 Funciones subharm´nicas . . . . . . . . o 9.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . Cap´ itulo X: Funciones enteras 279 10.1 Orden de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.2 El teorema peque~o de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 n 10.3 El teorema grande de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Cap´ itulo XI: La funci´n dseta de Hurwitz o 11.1 Definici´n y prolongaci´n anal´ o o itica . . . 11.2 La ecuaci´n funcional . . . . . . . . . . o 11.3 Los ceros de la funci´n dseta . . . . . . o 11.4 Funciones L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 299 305 310 317 Cap´ itulo XII: Transformaciones conformes 325 12.1 Transformaciones de M¨bius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 o 12.2 Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.3 El teorema de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Cap´ itulo XIII: Funciones multiformes 13.1 Prolongaci´n anal´ o itica . . . . . . . 13.2 Funciones multiformes meromorfas 13.3 Singularidades aisladas . . . . . . . 13.4 Superficies de Riemann . . . . . . 13.5 Superficies de g´rmenes . . . . . . e 13.6 Planos tangentes y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 361 365 368 376 381 387 ´ INDICE GENERAL Cap´ itulo XIV: Funciones algebraicas 14.1 Singularidades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 La configuraci´n anal´ o itica de una funci´n algebraica o 14.3 Ra´ de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . ices 14.4 Superficies de Riemann compactas . . . . . . . . . . 14.5 Funciones harm´nicas en superficies de Riemann . . o Bibliograf´ ia ´ Indice de Materias vii 393 394 397 401 410 413 427 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducci´n o Los n´meros complejos son una creaci´n esencialmente algebraica. Cardano u o introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fueran "imaginarias", de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez m´s evidencias de que los n´meros imaa u ginarios resultantes de admitir al n´mero i como si fuera un n´mero real m´s u u a eran suficientes para resolver cualquier ecuaci´n polin´mica. Sin embargo, una o o prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostr´ en su tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se o descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus ra´ ices en C: ´ste e es el teorema fundamental del ´lgebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho a m´s simple, pero no menos importante, fue que la aritm´tica los n´meros a e de u complejos, introducida formalmente a partir de la relaci´n i = -1, tiene una o interpretaci´n geom´trica sencilla si identificamos los elementos de C con los o e puntos del plano. Esta interpretaci´n puede considerarse como el punto de paro tida del estudio anal´ itico de los n´meros complejos. En t´rminos modernos C u e recibe la topolog´ de R2 y la relaci´n de esta topolog´ con su aritm´tica es la ia o ia e misma que se da en R. En particular tiene sentido la expresi´n o l´ im f (z) - f (z0 ) z - z0 zz0 para cualquier funci´n compleja f definida en un entorno del punto z0 . Se abre o as´ una teor´ de derivaci´n de funciones complejas similar a su an´loga real. i ia o a Sus s´lidos cimientos fueron establecidos por Cauchy en los numerosos art´ o iculos que dedic´ a esta materia. Como cabe esperar, las funciones derivables en el o sentido complejo y las funciones derivables reales comparten sus propiedades b´sicas con demostraciones pr´cticamente id´nticas (se trata de las propiedades a a e que dependen directamente de la topolog´ y la estructura de cuerpo), pero al ia profundizar en la teor´ pronto se advierte una diferencia esencial con el caso ia real: mientras que el an´lisis real es esencialmente geom´trico, en el sentido a e de la mayor´ de sus resultados son conjeturables a partir de la interpretaci´n ia o geom´trica de la derivada, la geometr´ apenas interviene en el an´lisis complejo. e ia a Existe ciertamente una interpretaci´n geom´trica de la derivada compleja (o, o e m´s precisamente, del m´dulo y del argumento de la derivada), pero normala o mente es de poca ayuda. Pensemos por ejemplo en los dos teoremas siguientes: ix x Introducci´n o · Si una funci´n real derivable tiene un m´ximo relativo en un punto entono a ces su derivada es nula en dicho punto. · Si una funci´n compleja derivable tiene un m´ximo relativo (en m´dulo) o a o en un punto entonces es constante. El primero es geom´tricamente evidente, el segundo no. Sin embargo no e hemos de pensar por esto que la derivaci´n compleja es una mera abstracci´n o o formal de la derivaci´n real. Lo que sucede es que en lugar de ser una teor´ o ia descriptiva superficial, en el sentido de que la distancia entre las definiciones y los teoremas se salva a menudo formalizando ideas geom´tricas sencillas, la derie vaci´n compleja combina las t´cnicas anal´ o e iticas con la est´tica y la profundidad e del ´lgebra, en el sentido de que toda ella gira en torno a unos pocos principios a f´ciles de enunciar, pero abstractos y l´gicamente distantes de las definiciones. a o Parece como si el origen algebraico del cuerpo complejo impregnase toda la teor´ y as´ mientras la gu´ del an´lisis real es que las funciones derivables son ia i, ia a las que admiten tangente en cada punto, en el caso complejo es util pensar que ´ las funciones derivables son como "polinomios de grado infinito", hecho nada evidente a partir de la definici´n, pero que vuelve naturales los teoremas b´sicos. o a He aqu´ un ejemplo : i · Si el conjunto de puntos donde una funci´n derivable compleja se anula o tiene un punto de acumulaci´n (en el dominio de la funci´n) entonces o o dicha funci´n es id´nticamente nula. o e Se trata del

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