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Profesor: Carlos Ivorra

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Carlos Ivorra Castillo ´ TEOR´ DE NUMEROS IA La aritm´tica superior nos proporciona un cone junto inagotable de verdades interesantes -- de verdades que adem´s no est´n aisladas, sino en estrecha a a relaci´n unas con otras, y entre las cuales, con cada o sucesivo avance de la ciencia, descubrimos nuevos y, a veces, completamente inesperados puntos de contacto. C.F.Gauss ´ Indice General Prefacio Cap´ itulo I: Introducci´n a la teor´ algebraica o ia 1.1 Ternas pitag´ricas . . . . . . . . . . . . . . o ´ 1.2 El Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . 1.3 Factorizaci´n unica . . . . . . . . . . . . . . o ´ 1.4 La ley de reciprocidad cuadr´tica . . . . . . a 1.5 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . 1.6 Ecuaciones diof´nticas . . . . . . . . . . . . a 1.7 Ecuaciones definidas por formas . . . . . . . 1.8 Conclusi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Cap´ itulo II: Cuerpos num´ricos e 2.1 Enteros algebraicos . . . . . . . 2.2 Discriminantes . . . . . . . . . 2.3 M´dulos y ordenes . . . . . . . o ´ 2.4 Determinaci´n de bases enteras o 2.5 Normas e ´ Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n´ meros u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix 1 1 3 5 8 11 11 14 18 19 19 22 25 33 45 49 50 58 64 71 72 75 Cap´ itulo III: Factorizaci´n ideal o 3.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . 3.2 Divisibilidad ideal en ordenes num´ricos . . ´ e 3.3 Ejemplos de factorizaciones ideales . . . . . 3.4 La funci´n de Euler generalizada . . . . . . o 3.5 Factorizaci´n ideal en ordenes no maximales o ´ 3.6 El problema de la factorizaci´n unica real . o ´ Cap´ itulo IV: M´todos geom´tricos e e 4.1 La representaci´n geom´trica . . . . . . . . . . o e 4.2 Ret´ iculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 El teorema de Minkowski . . . . . . . . . . . . 4.4 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 La representaci´n logar´ o itmica . . . . . . . . . . 4.6 C´lculo de sistemas fundamentales de unidades a 4.7 C´lculo del n´mero de clases . . . . . . . . . . a u v 77 . 77 . 79 . 83 . 87 . 96 . 100 . 106 vi Cap´ itulo V: Fracciones continuas 5.1 Propiedades b´sicas . . . . . . . . . . a 5.2 Desarrollos de irracionales cuadr´ticos a 5.3 Transformaciones modulares . . . . . . 5.4 Unidades de cuerpos cuadr´ticos . . . a 5.5 La fracci´n continua de e . . . . . . . o Cap´ itulo VI: Cuerpos cuadr´ticos a 6.1 Formas cuadr´ticas binarias . . . . a 6.2 Equivalencia y similitud estricta . 6.3 Grupos de clases . . . . . . . . . . 6.4 Ecuaciones diof´nticas cuadr´ticas a a 6.5 C´lculo de grupos de clases . . . . a Cap´ itulo VII: N´ meros p-´dicos u a 7.1 Valores absolutos . . . . . . . . . . 7.2 Cuerpos m´tricos discretos . . . . . e 7.3 Criterios de existencia de ra´ ices . . 7.4 Series en cuerpos no arquimedianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ INDICE GENERAL 111 111 116 118 120 122 131 132 136 139 145 151 157 158 164 170 173 181 181 185 190 196 201 202 209 210 216 224 229 234 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap´ itulo VIII: El teorema de Hasse-Minkowski 8.1 Formas cuadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . a 8.2 Formas cuadr´ticas sobre cuerpos p-´dicos . . a a 8.3 Formas binarias en cuerpos p-´dicos . . . . . a 8.4 El teorema de Hasse-Minkowski . . . . . . . . 8.5 La ley de reciprocidad cuadr´tica . . . . . . . a 8.6 Conclusi´n de la prueba . . . . . . . . . . . . o Cap´ itulo IX: La teor´ de los g´neros ia e 9.1 Equivalencia modular . . . . . . . . . . 9.2 G´neros de formas y m´dulos . . . . . . e o 9.3 El n´mero de g´neros . . . . . . . . . . u e 9.4 El car´cter de un cuerpo cuadr´tico . . a a 9.5 Representaciones por formas cuadr´ticas a 9.6 Grupos de clases y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Cap´ itulo X: El Ultimo Teorema de Fermat 253 10.1 El caso p = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.2 El teorema de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Cap´ itulo XI: La funci´n dseta de Dedekind o 11.1 Convergencia de la funci´n dseta . . . . . o 11.2 Productos de Euler . . . . . . . . . . . . . 11.3 Caracteres de grupos abelianos . . . . . . 11.4 Caracteres modulares . . . . . . . . . . . 11.5 La funci´n dseta en cuerpos ciclot´micos . o o 11.6 El c´lculo de L(1, ) . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 263 272 278 281 285 291 ´ INDICE GENERAL vii 11.7 Enteros ciclot´micos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 o Cap´ itulo XII: Sumas de Gauss 12.1 Propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . a 12.2 Sumas de Gauss y la ley de reciprocidad . . 12.3 El signo de las sumas cuadr´ticas . . . . . . a 12.4 El n´mero de clases en cuerpos cuadr´ticos u a Cap´ itulo XIII: Cuerpos ciclot´micos o 13.1 La f´rmula del n´mero de clases . . . . . o u 13.2 El primer factor del n´mero de clases . . . u 13.3 Los n´meros de Bernoulli . . . . . . . . . u 13.4 El segundo factor del n´mero de clases . . u 13.5 Numeros p-´dicos ciclot´micos . . . . . . a o 13.6 La caracterizaci´n de los primos regulares o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 299 301 306 310 315 315 317 322 328 332 337 Cap´ itulo XIV: N´ meros trascendentes u 347 14.1 El teorema de Lindemann-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 347 14.2 El teorema de Gelfond-Schneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Bibliograf´ ia ´ Indice de Tablas ´ Indice de Materias 363 365 366 Prefacio Este libro pretende servir de introducci´n a la teor´ algebraica de n´meros o ia u a un lector con una cierta base de algebra moderna (un poco de algebra lineal, ´ ´ un poco de teor´ de anillos, un poco de teor´ de cuerpos y un poco de teor´ ia ia ia de grupos). Adem´s del inter´s que por s´ misma puede despertar en cualquier a e i matem´tico, el algebrista puede ver en ella el origen hist´rico de muchos de a o los conceptos que maneja y un campo inmenso donde aplicarlos. Es f´cil caer a en la falsa opini´n de que la teor´ de n´meros es una colecci´n de resultados o ia u o anecd´ticos e intrascendentes sobre los n´meros naturales o enteros, y es dif´ o u icil mostrar en pocas palabras lo err´neo de esta creencia. Por ello hemos dedicado o el primer cap´ itulo a presentar una panor´mica de la teor´ de n´meros en general a ia u y del contenido de este libro en particular. A partir de ah´ el lector puede hacerse i una primera estimaci´n de si realmente le interesa la teor´ aunque lo cierto es o ia, que su aut´ntico encanto y su magnificencia no caben en el primer cap´ e itulo de ning´n libro. u ix Cap´ itulo I Introducci´n a la teor´ o ia algebraica de n´meros u El inter´s del hombre por los n´meros es tan antiguo como la civilizaci´n. e u o Son muchos los pueblos antiguos que se interesaron por los n´meros bien por rau zones pr´cticas inmediatas, bien por su relaci´n con la astronom´ y el c´mputo a o ia o del tiempo o incluso asociados a la adivinaci´n y el esoterismo. Entre todos o ellos destacan los griegos, que llegaron a desarrollar una teor´ de n´meros pura ia u guiada por criterios estrictamente matem´ticos en el sentido moderno de la paa labra. Los griegos descubrieron las leyes b´sicas de la aritm´tica. Conoc´ la a e ian divisi´n eucl´ o idea, los n´meros primos, el c´lculo del m´ximo com´n divisor y u a a u el m´ inimo com´n m´ltiplo, etc. Quiz´ el lector crea que esto significa dominar u u a completamente los n´meros naturales, pero no es as´ ni mucho menos. Lo que u i hicieron los griegos al desarrollar la aritm´tica elemental fue simplemente dese cubrir el lenguaje de los n´meros, lo cual no equivale a entender lo que se lee en u ese lenguaje. Para entender lo que queremos decir consideraremos un ejemplo tomado de la Aritm´tica de Diofanto. e 1.1 Ternas pitag´ricas o En el siglo III, Diofanto trat´ en su Aritm´tica el problema de encontrar o e ternas de n´meros naturales no nulos x, y, z tales que x2 + y 2 = z 2 . Estas u ternas se llaman ternas pitag´ricas, pues seg´n el teorema de Pit´goras permiten o u a construir tri´ngulos rect´ngulos con lados enteros. Los egipcios las usaban para a a construir angulos rectos en arquitectura. Entre los ejemplos m´s conocidos est´n ´ a a 32 + 42 = 52 , 52 + 122 = 132 , 72 + 242 = 252 . ¿C´mo encontrarlas todas? o En primer lugar

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