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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES APUNTES DE CALCULO II PARA PRIMER CURSO DE LOS GRADOS DE INGENIER´ INDUSTRIAL Y DE TELECOMUNICACION IA Elaborados por Domingo Pestana y Jos´ Manuel Rodr´ e iguez 1. CONCEPTOS BASICOS Definici´n. La norma de un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn es x = o x2 + x2 + · · · + x2 . La n 1 2 n distancia entre dos puntos x, y de R es la norma de su diferencia, es decir, dist (x, y) = x - y . La norma en Rn verifica propiedades similares al valor absoluto en R, ya que, de hecho, la norma es igual al valor absoluto si n = 1: x+y x + y , x - y x-y . Definici´n. La bola abierta B(x0 , r) de centro x0 Rn y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se o encuentran a distancia menor que r del punto x0 , es decir, B(x0 , r) = x Rn : x - x0 < r . La bola cerrada B(x0 , r) de centro x0 Rn y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor o igual que r del punto x0 , es decir, B(x0 , r) = x Rn : x - x0 r . Definici´n. Un conjunto U Rn es abierto si para todo x U existe un r > 0 (que puede depender de o x) tal que B(x, r) U . Un entorno de un punto x Rn es un conjunto abierto que contiene a x. Un conjunto F Rn es cerrado si su complemento F c = Rn \ F es abierto. La frontera E de un conjunto E Rn es el conjunto de puntos x de Rn (no tienen por qu´ estar en e E) tales que en todo entorno de x hay alg´n punto de E y alg´n punto de E c . u u Un conjunto E Rn es cerrado si y s´lo si E E. o El interior de un conjunto E Rn es el subconjunto de puntos x de E para los que existe un r > 0 (que puede depender de x) tal que B(x, r) E. De hecho, el interior de E es el mayor subconjunto abierto de E. La clausura E de un conjunto E Rn es E = E E. De hecho, la clausura de E es el menor conjunto cerrado que contiene a E. Un conjunto E Rn es acotado si existe un r > 0 tal que E B(0, r). Un conjunto E Rn es compacto si es cerrado y acotado. Es f´cil ver que una bola abierta es un conjunto abierto y que una bola cerrada es un conjunto compacto. a Tambi´n es f´cil ver que la uni´n e intersecci´n de un n´mero finito de conjuntos abiertos es abierto, y que e a o o u la uni´n e intersecci´n de un n´mero finito de conjuntos cerrados es cerrado. o o u Definici´n. Una funci´n es una regla cualquiera que hace corresponder un punto de Rm y s´lo uno a cada o o o punto de un cierto conjunto A Rn . f (x) es el valor de la funci´n f en el punto x. El dominio de una o funci´n es el conjunto de puntos para los que est´ definida, A en este caso, y se denota por Dom (f ). Si no o a se especifica nada, se sobreentiende que el dominio de una funci´n est´ formado por todos los puntos para o a los cuales tiene sentido la definici´n. Habitualmente escribiremos o f : A - Rm para denotar que A es el conjunto inicial o dominio y Rm el conjunto final, de tal manera que a cada punto de A la funci´n f le asocia un punto de Rm . o La imagen de una funci´n es el conjunto de los puntos y tales que existe un punto x con f (x) = y, y o se denota por Img (f ). La gr´fica de una funci´n es el conjunto de puntos: {(x, f (x)) : x Dom (f )}. a o Sean A Rn y f : A - R. El conjunto de nivel de valor c es el conjunto de puntos x A para los cuales f (x) = c, es decir, el conjunto {x A : f (x) = c} A Rn . Si n = 2, hablamos de curva de nivel de valor c, y si n = 3, hablamos de superficie de nivel de valor c. 1 2. LIMITES Y CONTINUIDAD Definici´n. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A y f : A - Rm . Se dice que l Rm es el o l´ imite de f (x) cuando x tiende a x0 , y lo escribimos limxx0 f (x) = l, si para todo > 0 existe un > 0 tal que f (x) - l < si 0 < x - x0 < . Teorema 1. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A y f : A - Rm . Si existe el l´ imite cuando x tiende a x0 de f (x), entonces es unico. Es decir, si limxx0 f (x) = l1 y limxx0 f (x) = l2 , entonces l1 = l2 . ´ Corolario 1. Sean A un subconjunto abierto de R2 que contiene a (0, 0) y f : A - R. Si los l´ imites limr0 f (r cos , r sen ) dependen de , entonces no existe el l´ imite lim(x,y)(0,0) f (x, y). Si los l´ imites limr0 f (r cos , r sen ) no dependen de , entonces no se puede afirmar nada sobre la existencia del l´ imite. Si el punto en el queremos estudiar el l´ imite es (x0 , y0 ) A, entonces se tiene un resultado similar: Si los l´ imites limr0 f (x0 + r cos , y0 + r sen ) dependen de , entonces no existe el l´ imite lim(x,y)(x0 ,y0 ) f (x, y). Proposici´n 1. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A y f, g : A - R. Si limxx0 f (x) = 0 y g o est´ acotada en un entorno de x0 , entonces limxx0 f (x)g(x) = 0. a Teorema 2. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A, c R y f, g : A - Rm . Si existen limxx0 f (x) y limxx0 g(x), entonces: (1) (2) (3) (4) (5) xx0 xx0 xx0 lim lim cf (x) = c xx0 lim f (x) . xx0 xx0 f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) . f (x)g(x) = xx0 lim lim f (x) xx0 lim g(x) , si m = 1 . lim g(x) = 0 . xx0 xx0 lim limxx0 f (x) f (x) = , g(x) limxx0 g(x) f (x) g(x) si m = 1, y limxx0 g(x) xx0 lim = xx0 lim f (x) , si m = 1 y todas las expresiones tienen sentido. Teorema 3. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A y f : A - Rm . Si f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)), donde fi : A - R, i = 1, 2, . . . , m, son las funciones componentes de f , entonces limxx0 f (x) = l = (l1 , l2 , . . . , lm ) si y s´lo si limxx0 fi (x) = li para cada i = 1, 2, . . . , m. o Definici´n. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A y f : A - Rm . Se dice que f es continua en o el punto x0 si limxx0 f (x) = f (x0 ). Teorema 4. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A, c R y f, g : A - Rm . Si f y g son continuas en x0 , entonces: (1) cf (x) es continua en x0 . (2) f (x) + g(x) es continua en x0 . (3) f (x)g(x) es continua en x0 , si m = 1. (4) f (x)/g(x) es continua en x0 , si m = 1 y g(x0 ) = 0. (5) (f (x))g(x) es continua en x0 , si m = 1 y (f (x))g(x) est´ definida en un entorno de x0 . a Teorema 5. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A y f : A - Rm . Si f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)), donde fi : A - R, i = 1, 2, . . . , m, son las funciones componentes de f , entonces f es continua en x0 si y s´lo si fi es continua para cada i = 1, 2, . . . , m. o Teorema 6. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 A, f : A - Rm y g : B - Rk , donde B es un entorno de f (x0 ). Si f (x) es continua en x0 y g(x) es continua en f (x0 ), entonces la composici´n o (g f )(x) = g(f (x)) es continua en x0 . Teorema 7. Sean A Rn y f : A - R. Si A es compacto y f es continua en A, entonces f est´ acotada a en A. 2 Teorema 8. Sean A Rn y f : A - R. Si A es compacto y f es continua en A, entonces existen los valores m´ximo y m´ a inimo de f en A. 3. DIFERENCIACION Definici´n. Sean U Rn un conjunto abierto y f : U - R. Entonces la derivada parcial f /xj de o f con respecto a la variable xj se define como f f (x1 , x2 , . . . , xj + h, . . . , xn ) - f (x1 , . . . , xn ) f (x + hej ) - f (x) (x1 , . . . , xn ) = lim = lim , h0 h0 xj h h donde 1 j n y ej es el j-´simo vector de la base can´nica; es decir, la derivada parcial de f con respecto e o a la variable xj es simplemente la derivada "usual" de f con respecto a la variable xj , si se supone que el resto de las variables son constantes. Si f : U - Rm , entonces f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)), y podemos hablar de la derivada parcial fi /xj de la componente i-´sima de f con respecto a la variable xj . e Definici´n. Sean U R2 un conjunto abierto, (x0 , y0 ) U y f : U - R. Decimos que f es diferenciable o en (x0 , y0 ) si f /x y f /y existen en (x0 , y0 ) y si lim f (x, y) - f (x0 , y0 ) - f x (x0 , y0 )(x - x0 ) - f y (x0 , y0 )(y - y0 ) (x,y)(x0 ,y0 ) (x, y) - (x0 , y0 ) = 0. En este caso se define el plano tangente a la gr´fica de f en el punto (x0 , y0 ) como a z = f (x0 , y0 ) + f f (x0 , y0 )(x - x0 ) + (x0 , y0 )(y - y0 ) . x y Definici´n. Sean U Rn un conjunto abierto, x0 U y f : U - Rm . Decimos que f es diferenciable o en x0 si las derivadas parciales de f existen en x0 y si lim f (x) - f (x0 ) - T(x - x0 ) = 0, x - x0 xx0 donde T = Df (x0 ) es la matriz m × n cuyo elemento en la fila i y columna j es fi /xj evaluada en x0 y T(x - x0 ) es el producto de T con x - x0 (considerado como matriz columna). Llamamos a T la derivada o diferencial o matriz jacobiana de f en x0 . Definici´n. Sean U Rn un conjunto abierto y f : U - R diferenciable en U . En este caso la matriz o derivada de f en x tiene 1 fila y n columnas, es decir, es el vector Df (x) = f (x) f (x) ,··· , , x1 xn f. y tambi´n se denomina gradiente de f en x. El gradiente suele designarse por los s´ e imbolos grad f ´ o n m Teorema 1. Sean U R un conjunto abierto, x0 U y f : U - R . Si f es diferenciable en x0 , entonces f es continua en x0 . Observaci´n. Puede ocurrir que existan las derivadas parciales de una funci´n en x0 , y que la funci´n o o o no sea continua en x0 . Esto demuestra que la definici´n que hemos dado de funci´n diferenciable es la o o "correcta". Teorema 2. Sean U Rn un conjunto abierto, x0 U y f : U - Rm . Si existen todas las derivadas parciales fi /xj de f y son continuas en un entorno de x0 , entonces f es diferenciable en x0 . 3 Teorema 3. Sean U Rn un conjunto abierto, x0 U , c R y f, g : U - Rm . Si f y g son diferenciables en x0 , entonces: (1) cf (x) es diferenciable en x0 , y D(cf )(x0 ) = cDf (x0 ). (2) f (x) + g(x) es diferenciable en x0 , y D(f + g)(x0 ) = Df (x0 ) + Dg(x0 ). (3) f (x)g(x) es diferenciable en x0 si m = 1, y D(f g)(x0 ) = g(x0 )Df (x0 ) + f (x0 )Dg(x0 ). (4) f (x)/g(x) es diferenciable en x0 si m = 1 y g(x0 ) = 0, y D f g(x0 )Df (x0 ) - f (x0 )Dg(x0 ) (x0 ) = . g g(x0 )2 Teorema 4. (Regla de la cadena.) Sean U Rn y V Rm conjuntos abiertos con x0 U y f (x0 ) V , f : U - Rm y g : V - Rk . Si f (x) es diferenciable en x0 y g(x) es diferenciable en f (x0 ), entonces la composici´n (g f )(x) = g(f (x)) es diferenciable en x0 , y o D g f (x