T4 Sistemas de 1º orden, Apuntes de Ingeniería Química

¡Descarga T4 Sistemas de 1º orden y más Apuntes en PDF de Ingeniería Química solo en Docsity! Tema 4.- Respuesta de sistemas de primer orden. Antes de empezar a analizar un sistema completo de control es necesario familiarizarse con la respuesta de algunos sistemas básicos simples que suelen constituir los bloques de un sistema de control. En este tema y en los tres siguientes se va a describir en detalle el comportamiento de varios sistemas básicos y se va a mostrar que se puede representar muchos sistemas físicos reales mediante una combinación de esos sistemas básicos. 4.1.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Se va a desarrollar la función de transferencia para un sistema de primer orden usando como ejemplo el comportamiento en estado no estacionario de un clásico termómetro de mercurio. En la Figura 4.1 se muestra una sección transversal del bulbo del termómetro de mercurio. Supóngase que ese termómetro está situado en una corriente de fluido para el que la temperatura x varía con el tiempo. El problema consiste en calcular la X = temperatura o : del ambiente pared de vidrio respuesta o variación con el tiempo de la temperatura que marca el termómetro y, . o ara un determinado cambio en x Figura 4.1.-Sección transversal del p termómetro. Para este análi: se van a hacer las siguientes suposiciones: - Toda la resistencia a la transferencia de calor está en la película que rodea al bulbo (la resistencia ofrecida por el vidrio y el mercurio se desprecia). - Toda la capacidad térmica está en el mercurio. En cualquier instante se supone que todo el mercurio está a la misma temperatura. - El vidrio que contiene al mercurio ni se contrae ni se expande durante la respuesta transitoria. Se supone que el termómetro está inicialmente en estado estacionario. Es decir, antes de tiempo cero no hay cambio de la temperatura con el tiempo. A tiempo cero, el termómetro será sometido a algún tipo de cambio en la temperatura del fluido que le rodea, x(t). Haciendo un balance de calor en estado no estacionario se tiene: hA(x — y)-0= opor (4.1) t donde A es el área de transferencia de calor, m?, Cp es la capacidad calorífica del mercurio, kcal/kg"C, m la masa del mercurio en el bulbo, kg, t el tiempo, horas, y h el coeficiente individual de transmisión de calor, kcal/hm?C. El coeficiente h dependerá del caudal y de las propiedades del fluido y de las dimensiones del bulbo. Aquí va a suponerse que h es constante. El resultado hasta ahora es una ecuación diferencial de primer orden. Antes de resolverla mediante transformadas de Laplace se va a introducir el concepto de variables desviación. Antes del cambio en x, el termómetro estaba en estado estacionario y la derivada dy/dt es cero. Para la condición de estado estacionario, la ec.(4.1) se puede escribir como: hA(x;- y5)=0 t<0 (4.2) El subíndice s se usa para indicar el valor de la variable en estado estacionario. La ec.(4.2) indica simplemente que y, = xs, es decir, que el termómetro está marcando la temperatura real a la que está el fluido. Restando (4.2) de (4.1) se tiene: d - HAfa— x= yo] mps (43) Adviértase que d(y-ys)/dt = dy/dt ya que y, es una constante. Se van a definir las variables desviación como la diferencia entre el valor de las variables en cada instante y el valor de esas variables en el estado estacionario: X=x-xXx € Y=y-ys Entonces, la ec.(4.3) quedaría como: dY hA|X- Y| = mCp— 4.4 [X- Y] = mCp-¿, (4.4) Si se denomina a mCp/hA =1, la ec.(4.4) quedaría como: xy (4,5) dt Tomando transformadas de Laplace en la ec.(4.5) quedaría: X(s) - Y(s) = 15 Y(S) (4.6) 4.2.- RESPUESTA TRANSITORIA Una vez que se ha establecido la función de transferencia de un sistema de primer orden, ya se puede obtener su respuesta transitoria ante cualquier variación en la entrada. Se van a estudiar las respuestas ante una serie de funciones habituales en control: escalón, impulso y sinusoidal. Estas funciones se usarán a lo largo del curso, donde se irá mostrando su utilidad. 4.2.1.- RESPUESTA A UNA PERTURBACIÓN EN ESCALÓN Si se introduce un cambio en escalón de magnitud A en un sistema de primer orden, la transformada de X(t) será X(s) = A/s. La función de transferencia de un sistema de primer orden es: YXO_K (4.10) X(s) ts+l Sustituyendo X(s) por su valor queda: A K Y(s) == (4.11) s Ts+l Que se puede expandir en fracciones parciales para dar: Y) = 2-4, 0 (4.12) s(s+1/T) s s+l/t Calculando C; y C2 como se mostró en el tema anterior, se obtiene C; = AK y C, = -AK. Sustituyendo estos valores en la ec.(4.12) y tomando transformada inversa, se tiene la respuesta de Y con el tiempo: Y()=0 1<0 Y()=AK(1-e%) 120 (4.13) En la Figura 4.2 se ha representado la ec.(4.13) en términos de las cantidades adimensionales Y(/(AK) y t/T. Vamos a ver ahora si el resultado matemático concuerda con lo que se espera desde un punto de vista físico. Cuando se mete el termómetro en el fluido, la diferencia de temperatura entre el mercurio del termómetro y la temperatura del medio está en su valor máximo. Con el modelo planteado, se esperaría que el flujo de calor actúe inmediatamente, provocando que suba la temperatura del termómetro. Al ir subiendo esta temperatura, la fuerza impulsora (el gradiente de temperaturas) irá disminuyendo dando como resultado que la temperatura del termómetro aumente más lentamente. Esta descripción física concuerda con la respuesta dada por la ec.(4.13) y que se muestra gráficamente en la Figura 4.2. 10 LT 08 04 02 Figura 4.2.- Respuesta de un sistema de primer orden a un cambio en escalón. Conviene remarcar algunas características de esta respuesta: - El valor de Y(t) alcanza el 63.2% de su valor final cuando el tiempo transcurrido es igual a su constante de tiempo T. Cuando el tiempo transcurrido es 21, 31 y 41, el porcentaje de respuesta es del 86.5, 95 y 98% respectivamente. Luego se puede considerar que la respuesta es completa cuando el tiempo transcurrido es de 3 ó 4 constantes de tiempo. - Se puede deducir de la ec.(4.13) que la pendiente de la curva de respuesta en el origen es KA/T. Esto significa que si se mantuviera la velocidad inicial de cambio, la respuesta se completaría en un tiempo igual a la constante de tiempo (ver la línea a trazos de la Figura 4.2). 4.2.2.- RESPUESTA A UNA PERTURBACIÓN EN IMPULSO Matemáticamente, la función impulso de magnitud A se define como X(t) = A3(t), donde 3(t) es la función impulso unitario definida en el tema anterior. Esta función impulso se usa más como una ayuda matemática que como una entrada real a un sistema físico. En algunos -6- sistemas físicos es difícil aproximarse a esa función impulso. Por ello, suele usarse una función escalón que se elimina al cabo de unos instantes. Si la duración de esa función escalón es lo suficientemente pequeña, esa función da una respuesta muy parecida a la de la función impulso “idealizada”. Consideremos un impulso unitario, para el que la transformada de Laplace ya se ha demostrado que es X(s) = 1. Sustituyendo esa expresión en la ec.(4.10), función de transferencia de un sistema de primer orden, da como resultado: Ys) = É (4.14) Ts +1 K/t Que se puede reordenar como: Y(s) = (4.15) s+l/t La inversa de Y(s) se puede encontrar directamente en tablas de transformadas, dando: K_ Yoy=20 0 (4.16) T En la Figura 4.3 se ha representado esta ecuación en téminos de TY(t)/K y t/t. Si el impulso fuese de magnitud A, la respuesta estaría multiplicada por A. 10 X . E 04 A, 0.2 A | 7 1 2 3 4 5 Figura 4.3.- Respuesta de un sistema de primer orden a un impulso unitario. Diagrama de Bode de un sistema de 1? orden Relacion de magnitudes, S1A/K Angulo de fase, $ 3 1001 10? 10" > | we Figura 4.4.- Diagrama de Bode de un sistema de primer orden. 4.2.5.- DIAGRAMAS DE NYQUIST Hay otro gráfico que suele usarse para mostrar la respuesta a frecuencias de un proceso, el diagrama de Nyquist. Este diagrama no es más que una representación de las partes real e imaginaria de G(s) directamente en el plano complejo en función de la frecuencia. El ángulo de fase ( y la relación de amplitudes son la representación en coordenadas polares de G(¡o). La información que da este diagrama es la misma que el diagrama de Bode. Conviene tener son los mismos, es decir, la en cuenta que los datos representados en los dos diagram: respuesta a frecuencias de un sistema. La diferencia radica en que en el diagrama de Bode es inmediata la relación entre frecuencia y respuesta, mientras que en el diagrama de Nyquist no se refleja la frecuencia correspondiente a cada punto. En la Figura 4.5 se muestra un diagrama de Nyquist correspondiente a un sistema de primer orden. 98 04| 7 7 o2| Trap 28] E IE TE ET Figura 4.5.- Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden. -10- 4.3.- EJEMPLOS FÍSICOS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 4,3.1.- NIVEL DE UN TANQUE Consideremos el sistema de la Figura 4.6, que consiste en un tanque de sección transversal uniforme A que está descargando libremente. g(t) 7) ey > quo) Figura 4.6.- Sistema de nivel de líquido. El flujo de descarga atraviesa una resistencia R, que puede ser un elemento como por ejemplo una válvula. Supongamos que el caudal volumétrico qu a través de la resistencia está relacionado con la altura del líquido en el depósito h mediante la relación lineal qo= (4.23) al> En el tanque está entrando un caudal volumétrico q, variable con el tiempo, de líquido de densidad p. Se trata de determinar la función de transferencia que relaciona el nivel con el caudal. El sistema se puede analizar escribiendo un balance de materia alrededor del tanque: a(pAh pa(o-pqo(0= som (4.24) dh U- t)= AZ q(y-q0(0) A Combinando las ecs.(4.23) y (4.24) para eliminar qo(t) da la siguiente ecuación diferencial lineal: h dh pÍ=A= 4.25 g(t) R m7 (4.25) Ahora vamos a introducir variables desviación antes de seguir adelante. Inicialmente el proceso está funcionando en estado estacionario, lo que significa que dh/dt = 0, luego -11- h ds Z =0 (4.26) donde el subíndice s indica el estado estacionario. Restando la ec.(4.26) de la ec.(4.25) se tiene: (q-95)= Zn pra 2 (4.27) Si se definen las variables desviación como: Q=q-4 H=h-hs la ecuación (4.27) se puede escribir como: 1 dH Q= Hao (4.28) Tomando transformadas en la ec.(4.28) se tiene: Q(s)= PAGAS) (4.29) Nótese que H(0) es cero y que por eso la transformada de dH/dt es sH(s). La ec.(4.29) se puede reordenar de forma: HG _R 0) wa (4.30) donde T= AR. Si se compara la función de transferencia de este ejemplo con la del termómetro de mercurio, se ve que ahora aparece en el numerador un factor R. Ese término no es más que el factor de conversión que relaciona h(t) con q(t) cuando el sistema está en estado estacionario. Por eso a ese factor se le suele denominar la ganancia del sistema en estado estacionario. Vamos a aplicar el teorema del valor final para determinar el valor en estado estacionario de H cuando el caudal Q(t) cambia según un escalón unitario. Entonces Q(t) = u(t), donde u(t) es el símbolo para un escalón unitario. La transformada de Q(t) es Q(s) = 1/s. 1R Luego H(s)= — sTs+1 -12- En el estado estacionario se tiene: qpCpt;s = gpCpt>s + UA (tos = t25)=0 Restando la ec.(4.36) de la ec.(4.35) e introduciendo las variables desviación T¡= t- ts T= t2- tos To= to— tos : dT, se tiene qpCpT, - qpCpT + UA[T, - B] = MT t Tomando transformadas de Laplace en la ec.(4.37) queda: qpCpT, (s)-qpCpT, (s)+UA[To(s)-Ta (s)] = VpCpsT> (5) VpCp ———=—-, se tiene: UA + qpCp Agrupando y llamando 1 = 4pCp UA DP rs DA To ts)= TST2(S UA +qpCp ¡ORO 09 SEG) qpCp apCp K UA Llamando K¡ = == 2 = Hg UA +qpCp UA + qpCp » la ec.(4.39) queda como: K¡T (s)-T, (s)+K>Tp(5)= 15T) (s) Despejando la incógnita T»(s), se tiene: K; K, D(s)= ——T (s + To(s 2(s) Les 168) Lets 0(s) La función de transferencia que relaciona T»(s) con T:(s) será: D(S_K 21 -Gi(s T,(s) 1+ts 165) y la función de transferencia que relaciona Ts) con To(s) será: TS Ko = Ga(s To(s) 1+t5 25) -15- (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40) (441) (4.42) (4.43) En general, en un sistema lineal multivariable (con múltiples entradas y salidas), la relación entre las variables de salida y de entrada se puede escribir en forma matricial como: Ys) (Gn Gr + Gim || X1(s) Y2(s)|_[G21 G2 +. G2m| X2(5) (4.44) Ya (Ss) Gn Gn -- GX mis) donde G;¡, ....Gpm Son las correspondientes funciones de transferencia individuales que relacionan cada variable de salida con las variables de entrada. -16-