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TEMA 4 : VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Bioestadística - Biología USC

Profesor: Mª Carmen Carollo Limeres

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Bioestatística. Grao en Bioloxía Tema 4. Variable aleatoria continua Mª del Carmen Carollo Limeres Pedro Faraldo Roca Bioestatística. Grao en Bioloxía 4.- Variable aleatoria continua 4.1 Variable aleatoria continua. Medidas características. 4.2 Algunas distribuciones continuas. Distribución Uniforme Distribución Exponencial Distribución Normal Bioestatística. Grao en Bioloxía Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que toma valores en un intervalo. Ejemplos: estatura de una persona, peso de los individuos de una determinada población. Bioestatística. Grao en Bioloxía Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua X viene determinada por su función de densidad. La función de densidad de X se define cono una función f: R R integrable que verifica: f (t) 0 P (a X b) = si a < b Bioestatística. Grao en Bioloxía Variable aleatoria continua P (a X b) = si a < b Bioestatística. Grao en Bioloxía Variable aleatoria continua Propiedades: De la definición de función de densidad se deduce que: 1. P (X A) = 2. P(X=a) = 0 ; a A R R Bioestatística. Grao en Bioloxía Función de distribución En general F(x)=P (X x) En el caso continuo: F es continua f(x)=F´(x) x R Bioestatística. Grao en Bioloxía Una variable aleatoria continua, X, tiene por función de densidad la siguiente: kx 2 si 0 x 6 f ( x) 36 0 en otro caso 1.Encuentra k para que f(x) sea función de densidad. 2.Representa gráficamente la función de densidad. 3.Halla la función de distribución de la variable X. 4.Halla la media, la varianza y la desviación típica de X. 5.Calcula las probabilidades siguientes: P(0< X 1); P(X > 3); P(X< 2); P(X 1'5). Bioestatística. Grao en Bioloxía Medidas características: Sea X es una V.A. contínua con función de densidad f(x) Media o Esperanza matemática: La media verifica las mismas propiedades que en el caso discreto. Bioestatística. Grao en Bioloxía Varianza y desviación típica: Var ( X ) E ( X X ) x X f ( x)dx 2 X 2 2 R 2 X X Se puede comprobar que: Var ( X ) E ( X ) X x 2 f ( x)dx ( X ) 2 2 2 R La varianza verifica las mismas propiedades que en el caso discreto. Bioestatística. Grao en Bioloxía Para establecer el precio a pagar por cada litro de leche, una central lechera ha dividido, atendiendo al contenido de materia grasa por litro en %, la leche recibida en su factoría, en tres categorías: Categoría l: contenido de materia grasa inferior al 4% Categoría 2: contenido de materia grasa entre el 4% y el 5% Categoría 3: contenido de materia grasa superior al 5% Por estudios anteriores, se sabe que el porcentaje de materia grasa por litro de leche procesado por esta empresa es una variable aleatoria, X, con la siguiente función de densidad: 2(6 - x) f ( x) = 9 0 si 3 < x < 6 en otro caso Sabiendo que el precio de un litro de leche, pagado por esta empresa, es de 0.20 para la categoría 1, 0.30 para la categoría 2 y 0.40 para la categoría 3, Obtener el precio medio del litro de leche pagado por la empresa láctea. Bioestatística. Grao en Bioloxía Algunas distribuciones continuas Bioestatística. Grao en Bioloxía Uniforme continua Una variable aleatoria X que toma valores en un intervalo [a, b] diremos que tiene una distribución uniforme X ~ U [a, b] si su función de densidad es: 1 f ( x) = b-a 0 si a x 6 en otro caso Bioestatística. Grao en Bioloxía Uniforme continua Su función de distribución es: Su media y varianza son: E(X) = = (a + b) / 2 ; Var(X) = 2 = (b - a)2 / 12 Bioestatística. Grao en Bioloxía Distribución exponencial En los procesos de Poisson si consideramos la variable X = "tiempo entre dos sucesos consecutivos" tiene una distribución exponencial de parámetro . X ~ Exp () La variable toma valores en el intervalo (0 , +) y su función de densidad es: Bioestatística. Grao en Bioloxía Distribución exponencial La función de distribución toma la forma: La media y la varianza son: Bioestatística. Grao en Bioloxía Distribución exponencial Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos es una variable continua con función de densidad: et /16 si t 0 f (t ) 16 0 en otro caso ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? ¿Cuál es la vida media de este tipo de marcapasos? ¿Cuánto vale la varianza para el tiempo de vida? Bioestatística. Grao en Bioloxía Distribución Normal La importancia de la distribución normal se debe, principalmente, a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal como son: Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Bioestatística. Grao en Bioloxía DISTRIBUCIÓN NORMAL Una variable aleatoria X tiene distribución Normal de media y varianza 2 si su función de densidad es: f ( x) 1 e 2 ( x )2 2 2 x Función de densidad Se denotará : X N(, 2 ) Bioestatística. Grao en Bioloxía · Depende de y , que coinciden con la media y la desviación típica respectivamente. · Tiene forma de campana. · Es simétrica respecto a x = · es también la moda y la mediana · Tiene un máximo en x = · Los puntos de inflexión son - y + · El eje de abscisas es una asíntota · Cuanto mayor es , mayor es la dispersión y por tanto la gráfica es más aplastada Propiedades de la función de densidad Bioestatística. Grao en Bioloxía Función de distribución F ( x ) P( X x ) x : f (t )dt ; x R Bioestatística. Grao en Bioloxía Variable normal tipificada: Si X N(, 2 ) , entonces x N(0, 1) Z La función de densidad es: 1 f ( z) e 2 z2 2 - 50 y p<0,1 np 5 p>0,5 y nq>5 p0,5 y np>5 Aproximación Pois(=np) Bi (n,p) N(=np, 2=npq) Pois() >5 N( = , 2=) Bioestatística. Grao en Bioloxía Se está realizando un estudio de reproducción controlada de una especie animal en peligro de extinción. Se sabe que la presentación de anomalías genéticas aparece con una probabilidad del 1%. Determinar un número de anomalías, de manera que se garantice que la probabilidad de no superar dicho número sea de al menos el 95%, en los casos siguientes: · Un día en el que hay 5 reproducciones. · Un día en el que hay 80 reproducciones. · Un día en el que hay 900 reproducciones Bioestatística. Grao en Bioloxía De acuerdo con un estudio publicado por un equipo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente el 49% de los consumidores de Valium en ese estado Norteamericano son directivos de empresas. Se seleccionan al azar 1000 consumidores de Valium en Massachusetts, ¿Cuál es la probabilidad de que entre 482 y 510, ambos valores incluidos, sean directivos de empresa? Bioestatística. Grao en Bioloxía Un Biólogo comprobó que la probabilidad, de que al inyectar a una rata un determinado producto sobreviviera después de una semana, era de 0'5. Si el Biólogo inyectó el producto a un lote de 100 ratas, se pide calcular: · Probabilidad de que vivan más de 65 ratas. · Probabilidad de que vivan más de 40 y menos de 60. · Probabilidad de que vivan menos de 30. · Probabilidad de que vivan más de 45. Bioestatística. Grao en Bioloxía Se efectúa una medición de la acidez del agua del rio. Cada medición de PH tiene un error. Además se sabe que la magnitud del error en esas mediciones es una variable, X, que se distribuye normalmente con media 0 y varianza 0'36. Determinar la probabilidad de que si se efectúan 5

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