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Práctica 02. Movimiento cuerpo bajo la gravedad

Mecanica - Enginyeria Geomàtica i Topografia UPC

Profesor: Angelina Peñaranda Ayllon

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Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Pablo Krenn Garcia Escuela Politécnica Superior de Edificación de Barcelona 1er curso de Ingeniería Geomática y Topografía Práctica realizada el 19 de noviembre del 2010 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Contenido 1. Objetivos ................................................................................................... 3 2. Material ..................................................................................................... 3 3. Realización de la práctica ......................................................................... 3 3.1. Filmación........................................................................................ 3 4. Análisis y procesado de datos .................................................................. 4 4.1. Movimiento en caída libre .............................................................. 4 4.2. Movimiento parabólico ................................................................. 10 5. Resumen de los valores estimados ........................................................ 19 6. Conclusiones........................................................................................... 20 Página 2 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad 1. Objetivos Estudiar el movimiento de una masa sujeta a la acción de la gravedad. Para ello, se realizarán filmaciones del lanzamiento de un objeto y se tomarán medidas de su posición en función del tiempo. Posteriormente estas medidas se analizarán mediante una hoja de cálculo. Familiarizarse con las técnicas de ajuste de funciones y diferenciación numérica. 2. Material 1.- Ordenador con sistema de adquisición de imágenes. 2.- Webcam. 3.- Programa Vidshell para toma de datos a partir de las filmaciones. 4.- Programa de tratamiento de datos. 5.- Pelota. 6.- Cinta métrica. 3. Realización de la práctica 3.1. Filmación Se filmó con el programa Vidshell el movimiento de caída libre y el movimiento parabólico. · · Ritmo de toma de imágenes: 20 imágenes/s. Intervalo de tiempo entre imágenes sucesivas: 0,05s Página 3 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Movimiento en caída libre Se ha filmado la caída de una pelota sin velocidad inicial, junto a una cinta métrica, teniendo como resultado un archivo de grabación para poder realizar el tratamiento de datos. Movimiento parabólico Se ha filmado el movimiento de una pelota con una cierta velocidad inicial, formando un cierto ángulo con la horizontal junto a una cinta métrica, teniendo como resultado un archivo de grabación para poder realizar el tratamiento de datos. 4. Análisis y procesado de datos 4.1. Movimiento en caída libre Mediante el programa Vidshell se han extraído los puntos del movimiento de caída libre y por lo tanto los datos de posición en cada intervalo de tiempo. Posteriormente aplicando la fórmula de la velocidad descrita a continuación se ha podido estimar la velocidad en cada punto del movimiento: Toma de datos +x +y -x En en el la Figura 1 podemos para el observar los puntos que se han tomado programa Vidshell posterior tratamiento de datos, así como los ejes de referencia tomados -y Figura 1 para la evaluación. Página 4 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad La Tabla 1 muestra las medidas de las posiciones con los intervalos de tiempo del movimiento del objeto. Puntos de estudio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Coordenada Y [m] 0,00 0,01 0,04 0,08 0,15 0,24 0,35 0,47 0,62 0,80 0,97 1,17 1,41 Tiempo [s] 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 Tabla 1 Estimación del error en la posición del objeto: y = ±0,02m Para la estimación del error en la posición se ha clicado en dos puntos próximos de la imagen y se han comprobado sus coordenadas. Las coordenadas de los puntos tomados son las siguientes: 0,21 0,23 0,86 0,88 Entonces, la estimación del error es el siguiente: 0,02 0,02 Ahora solo necesitamos , pero para el movimiento parabólico tomaremos estas mismas estimaciones de los errores. Página 5 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Estimación de la velocidad La Tabla 2 muestra la velocidad estimada a la que llega el objeto en los distintos puntos estudiados con el intervalo de tiempo. Velocidad [m/s] 0,20 0,60 0,80 1,40 1,80 2,20 2,40 3,00 3,60 3,40 4,00 4,80 Entre puntos 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 9 a 10 10 a 11 11 a 12 12 a 13 Tiempo [s] 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 Tabla 2 Cálculo del error de la velocidad mediante la derivada numérica Aplicando la ecuación para el cálculo de errores en la diferenciación numérica se obtiene el siguiente proceso de cálculo: Donde: · es el error de la derivada de la función a estudiar, en este caso 2 ; el error de la velocidad, entre un punto inicial y un punto final. · · es el intervalo de tiempo. es el error de la función a estudiar, en este caso, la posición. Por lo tanto, 2 2 0,02 0,05 0,04 0,05 0,80 / Página 6 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Entonces, la estimación del error en la velocidad obtenido por diferenciación numérica es: 0,80 / Gráficos Gráfico posición (yt) 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 y (m) Gráfico 1 t (s) 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 Posición Y Gráfico 1. Como se puede observar en este gráfico (y-t) el comportamiento de la partícula describe una parábola negativa, ya que se ha tomado como origen de coordenadas el punto donde empieza el movimiento de caída libre, es decir, 0 0 . Como consecuencia de la fuerza de gravedad, a medida que avanza el tiempo, hace que la y vaya disminuyendo cuadráticamente obteniendo una parábola. En breves palabras, a medida que aumente el tiempo su velocidad también aumenta y consigue una variación de posición mayor que en el intervalo de tiempo anterior. Así que nos encontramos en un Movimiento Uniformemente Acelerado, donde la aceleración es la fuerza de gravedad. Página 7 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Gráfico velocidad (vt) 1.00 0.00 1.00 2.00 Velocidad 3.00 4.00 5.00 6.00 v (m/s) Línea de regresión 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 t (s) Gráfico 2 Gráfico 2. Como se puede observar en el gráfico velocidad (v-t), la velocidad aumenta linealmente a medida que aumenta el tiempo. Una variación de velocidad indica que el cuerpo se encuentra en aceleración. Una vez tenemos los diferentes puntos vemos que estos siguen una línea de tendencia la ecuación la cual es la que se expone a continuación con un factor de correlación . 7,82 0,99 La componente independiente de esta ecuación tendria que ser 0, puesto que el movimiento lo hemos inicializado en el origen de los ejes de referencia marcados en la Figura 1. Esto puede ser debido al error en la medición de los puntos puesto que como se puede observar en el Gráfico 2 no todos lo spuntos estan alineados a la recta de regresión y podrian haber algunos valores parásito que influirian en este error. Como podemos observar el factor de coorelacion es muy próximo a la unidad, lo cual nos indica una buena correlación de los puntos respecto la línea de ajuste y también es muy próximo a 0, por lo cual podría ser un valor desestimado para la ecuación. Así pues, la ecuación de la velocidad quedaría de la siguiente forma: 7,82 0,18 Página 8 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Cálculo de la aceleración Para el cálculo de la aceleración podemos aplicar la fórmula siguiente: Teniendo en cuenta que la velocidad final es - 4,80 y el tiempo final es 0,60s y sabiendo que la velocidad inicial es 0m/s en t = 0s, podemos estimar aceleración es: 4,80 0 0,60 0 4,80 0,60 8,00 / que la También podemos estimar la aceleración a partir de la ecuación de la recta de regresión, obtenida anteriormente, sabiendo que la ecuación de la velocidad es: ; Entonces obtendríamos un valor de la aceleración de: 7,82 / Cálculo del error de la aceleración mediante la derivada numérica Aplicando la anterior ecuación para el cálculo de errores en la diferenciación numérica se obtiene el siguiente proceso de cálculo: 2 2 0,80 0,60 1,60 0,60 2,67 / Página 9 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad Entonces, la estimación del error en la aceleración obtenido por diferenciación numérica es: 2,67 / 4.2. Movimiento parabólico Mediante el programa Vidshell se han extraído los puntos del movimiento parabólico y por lo tanto los datos de posición en cada intervalo de tiempo. Posteriormente, aplicando las fórmulas de la velocidad descritas a continuación, se han podido estimar las velocidades en los distintos ejes en cada uno de los puntos del movimiento: Toma de datos La Figura 2 muestra los puntos que se han tomado en el programa Vidshell para el posterior tratamiento de datos, así como los ejes de referencia tomados para la evaluación. Aún así, se ha tomado como positivo el eje de las abscisas en sentido izquierdo. +y +x -x -y Figura 2 Página 10 Mecánica Práctica 2. Movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza de la gravedad La Tabla 3 muestra las medidas de las posiciones con los intervalos de ti

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