Espais Vectorials, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga Espais Vectorials y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! 1 Espacios vectoriales reales 1.1 Espacio vectorial Un conjunto V , junto con una operación interna + y una operación externa V × V +−→ V R× V ·−→ V (~v, ~w) 7−→ ~v + ~w (α,~v) 7−→ α~v tales que: 1. (V, +) tiene estructura de grupo abeliano; esto es, se verifica: (a) Propiedad asociativa: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (b) Existencia de elemento neutro: Existe ~0 ∈ V tal que ~0+~v = ~v+~0 = ~v (c) Existencia de elemento opuesto a uno dado: Dado ~v ∈ V existe ~v′ ∈ V tal que ~v + ~v′ = ~v′ + ~v = ~0 (d) Propiedad conmutativa: ~v + ~w = ~w + ~v 2. Respecto de ambas operaciones: (a) Distributiva de la operación externa respecto de la interna α(~u + ~v) = α~u + α~v (b) Distributiva de la operación interna respecto de la externa (α + β)~u = α~u + β~u (c) Asociativa mixta α(β~u) = (αβ)~u (d) Neutralidad de la operación externa 1~u = ~u 1.1.1 Propiedades de un espacio vectorial Las principales propiedades de un espacio vectorial son las siguientes: ∀~v ∈ V , 0 · ~v = ~0 ∀λ ∈ R, λ ·~0 = ~0 Si λ~v = ~0 entonces ó λ = 0 ó ~v = ~0 ∀λ ∈ R, ∀~v ∈ V , (−λ)~v = −λ~v = λ(−~v) 1 1.1.2 Subespacio vectorial Sea V un espacio vectorial real. Todo subconjunto W de V no vaćıo, W 6= ∅, que tenga estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones que V , diremos que es un subespacio vectorial de V . Caracterización de subespacios vectoriales. La condición necesaria y sufi- ciente para que un conjunto W no vaćıo sea un subespacio vectorial de V , es que se verifique: ∀~v, ~w ∈ W, ∀λ, µ ∈ R =⇒ λ~v + µ~w ∈ W. También se utiliza la caracterización: ∀~v, ~w ∈ W, ∀λ ∈ R =⇒ λ~v ∈ W, ~v − ~w ∈ W. 1.1.3 Sistema de vectores. Denominaremos sistema de vectores de V a un subconjunto finito de elementos de V , S = {~v1, . . . , ~vn}. 1.1.4 Combinación lineal de vectores Se dice que un vector ~v ∈ V es combinación lineal del sistema S = {~v1, . . . , ~vn} de vectores de V , si existen n escalares λ1, . . . , λn ∈ R tales que ~v = λ1~v1 + · · ·+ λn~vn. Los escalares λ1, . . . , λn reciben el nombre de coeficientes de la combinación lineal. Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinación lineal de S. Teorema El conjunto L(S) de todos los vectores que que son combinación lineal de un sistema de vectores de V , S = {~v1, . . . , ~vn}, forman un subespacio vetorial de V . Demostración Dados dos vectores ~u, ~w ∈ L(S); y dos escalares α, β ∈ R, veamos que α~u+β ~w ∈ L(S). Como ~u, ~w ∈ L(S) existen λ1, . . . , λn y α1, . . . , αn tales que ~u = λ1~v1 + · · ·+ λn~vn ~w = µ1~v1 + · · ·+ µn~vn por tanto, se tiene α~u + β ~w = α(λ1~v1 + · · ·+ λn~vn) + β(µ1~v1 + · · ·+ µn~vn) = (αλ1 + βµ1)~v1 + · · ·+ (αλn + βµn)~vn ∈ L(S). Dos sistemas de vectores S1 y S2 son equivalentes si L(S1) = L(S2). Las principales formas de obtener un sistema equivalente a uno dado son: 1. Añadiendo ó quitando al sistema vectores que sean combinación lineal de los del sistema. 2 ~v1, ~w1 ∈ W1, ~v2, ~w2 ∈ W2. Luego, ~v1 − ~w1 + ~v2 − ~w2 = ~v − ~v = ~0 y por tanto, ~v1 − ~w1 = −~v2 + ~w2 ∈ W1 ∩W2 y ~v1 − ~w1 = −~v2 + ~w2 = ~0 luego ~v1 = ~w1, ~v2 = ~w2. Nota. La unión de dos subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial. 1.2.3 Sistema generador Un sistema de vectores S es un sistema de generadores de un subespacio vectorial W ⊆ V si L(S) = W . Las formas más usuales de dar un un subespacio vectorial suelen ser: 1.- Dando un sistema de generadores de W . 2.- Dando las ecuaciones “impĺıcitas”, que equivale a dar restricciones a las coordenadas de los vectores de V para que estén en W . 3.- Dando las ecuaciones paramétricas, que expresan las coordenadas de los vectores de W en función de parámetros que pueden tomar cualquier valor de R. 1.3 Bases de un espacio vectorial. Dimensión 1.3.1 Base de un espacio vectorial. Dimensión. Una base de un espacio vectorial W es un sistema de vectores linealmente inde- pendientes y que generan W , esto es L(S) = W . Teorema.Todo espacio vectorial admite al menos una base. En un espacio vectorial (que admite un sistema finito de generadores) todas las bases son finitas y tienen el mismo número de vectores. Definición. Llamamos dimensión del espacio vectorial W al número de vec- tores de una base de W . Observaciones. 1.- Si W es un subespacio vectorial de V , dim W ≤ dim V . Si W = {~0}, dim W = 0. 2.- Si W1, W2 son subespacios vectoriales de V se tiene dim(W1 + W2) + dim(W1 ∩W2) = dim W1 + dim W2. En particular dim(W1 ⊕W2) = dim W1 + dim W2. 5 1.3.2 Coordenadas de un vector en una base Sea B = {~v1, . . . , ~vn} una base de V y ~v ∈ V , entonces existen unos únicos escalares x1, . . . , xn ∈ R tales que ~v = x1~v1+. . .+xn~vn. Se dice que (x1, . . . , xn) son las coordenadas de ~v en la base B = {~v1, . . . , ~vn}. Observación. En el espacio vectorial Rn la base ~e1 = (1, 0, . . . , 0), ..., ~ei = (0, . . . , (i 1, . . . , 0),..., ~en = (0, . . . , 0, 1) se denomina base canónica. 1.3.3 Rango de un sistema de vectores El rango de un sistema S de vectores es la dimensión del subespacio vecto- rial L(S) engendrado por S. Es decir, es el máximo de vectores linealmente independientes de S. 1.4 Problemas resueltos. 1. Se consideran los siguientes subespacios de R3: U = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0, y − z = 0} V = {(x, y, z) ∈ R3| x = y, x + 2z = 0}. Hallar una base de U , otra de V , la dimensión de U , V y los subespacios U ∩ V y U + V . SOLUCIÓN: Las ecuaciones paramétricas de U son: x = 0, y = β, y z = β. Por tanto, U = {(0, β, β)| α ∈ R} Luego una base de U es: BU = {(0, 1, 1)} y dim U = 1. Las ecuaciones paramétricas de V son: x = −2α, y = −2α, y z = α. Por tanto, V = {(−2α,−2α, α) | α ∈ R} Luego una base de V es: BV = {(−2,−2, 1)} y dim V = 1. El subespacio intersección es U ∩ V = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0, y − z = 0, x = y, x + 2z = 0} = {(x, y, z) ∈ R3|x = y = z = 0} = {(0, 0, 0)} 6 El subespacio suma es U + V = L({(0, 1, 1), (−2,−2, 1)}) esto es, (x, y, z) ∈ U + V si existen α, β ∈ R tales que (x, y, z) = α(0, 1, 1) + β(−2,−2, 1) esto es,    x = −2β y = α− 2β z = α + β ⇐⇒    β = −x 2 α = y − x z = α + β por tanto, el sistema anterior tiene solución si y sólo si z = y − x− x 2 ⇐⇒ z = y − 3 2 x Luego U + V = {(x, y, z) ∈ R3| z = y − 3 2 x} y dim(U + V ) = 2. Como U ∩ V = {(0, 0, 0)}, la suma es directa. 2. Se consideran los siguientes subespacios de R4: U = {(x, y, z, t) ∈ R4| y − 2z + t = 0} V = {(x, y, z, t) ∈ R4| x = t, y = 2z}. Hallar una base de U , otra de V , la dimensión de U , V y los subespacios U ∩ V y U + V . SOLUCIÓN: El subespacio intersección es: U ∩ V = {(x, y, z, t) ∈ R4| y − 2z + t = 0 x = t, y = 2z} Esto es, (x, y, z, t) ∈ U ∩ V si y sólo si    y − 2z + t = 0 x− t = 0 y − 2z = 0 ⇐⇒    t = 0 x− t = 0 y − 2z = 0 ⇐⇒    t = 0 x = 0 y − 2z = 0 esto es, U ∩ V = {(x, y, z, t) ∈ R4| x = t = 0, y = 2z} y dim(U ∩ V ) = dimR4 − 3 = 1. Ahora bien, dim(U + V ) = dim U + dim V − dim(U ∩ V ) = 3 + 2− 1 = 4 Y como el único subespacio de R4 de dimensión 4 es R4, tenemos que U + V = R4. 7