Conceptos básicos de geometría y análisis en espacios vectoriales de dimensión finita - Pr, Ejercicios de Cálculo

¡Descarga Conceptos básicos de geometría y análisis en espacios vectoriales de dimensión finita - Pr y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity! Aspectes mètrics, geomètrics i topològics de l’espai euclidià. Funcions de vàries variables, corbes i superficies 11 de setembre de 2017 1 L’espai euclidià Designarem per E3 l’espai euclidià f́ısic de tres dimensions que, en primera aproximació, ens envolta. També considerarem el pla euclid̀ıà de dues di- mensions E2 i en general l’espai euclidià abstracte Ed de d-dimensions. En general, tractarem amb Ed, però pensarem en E2,E3. També s’en diu l’espai af́ı de d dimensions. Els elements de Ed són punts, que en principi designa- rem amb lletres majúscules P,Q, · · · . Cada dos punts P,Q determinen un vector ~PQ, el vector que va de P a Q, etc. Cóm manipulem els punts? Com que a Ed hi ha d graus de llibertat, necessitarem d’una familia de d nombres per a cada punt P per identificar-lo. El conjunt de les families ordenades de d nombres és el producte cartesià Rd = {x = (x1, x2, · · · , xd), xi ∈ R}. La forma clàssica de fer això- de situar cada punt amb d nombres- és mitjançant unes coordenades afins. Unes coordenades afins consisteixen en escollir un sistema de referència, que consta d’un punt O que s’anomena origen de coordenades i uns eixos de vectors directors ~e1, ~e2, · · · , ~ed linealment independents. Per a cada punt P considerem el vector ~OP i l’escrivim en termes d’aquesta base, ~OP = d∑ i=1 xi~ei. 1 Els nombres x = (x1, x2, · · · , xd) són les coordenades afins del punt P en aquest sistema de referència, i reciprocament, cada d-pla de números defineix un únic punt. D’una banda tenim doncs el concepte abstracte de punt, i d’altra ban- da les coordenades d’aquest punt en un sistema de referència, que pot ser arbitrari. Per agilitzar les notacions, però, pensarem que hem fixat un sistema de referència canònic consistent en un origen O i d eixos dos a dos perpendicu- lars. Identifiquem P amb el vector ~OP que al seu torn identifiquem amb els d nombres (x1, · · · , xd). Aix́ı identifiquem Ed amb Rd i també utilitzem la notació x = (x1, · · · , xd) per als punts. En alguna ocasió també utilitzarem la notació X per designar el vector columna que té els d x′s. L’origen de coordenades és 0 = (0, 0, · · · , 0); els vectors ~ei = (0, · · · , 1, · · · , 0) formen la base canònica de Rd, que són els vectors directors dels eixos de coordenades. En alguns cops, però, serà convenient mantenir la notació P , particularment quan parlem d’altres sistemes de coordenades. En E3, utilitzarem la notació P = (x, y, z), enlloc de (x1, x2, x3), i en el pla utilitzarem P = (x, y). En Rd hi ha l’estructura d’espai vectorial donada per la suma i el producte per escalars. Hi tenim subespais vectorials V de dimensió k ≤ d, que es poden descriure de dues maneres. Primer, mitjançant d−k equacions lineals independents d∑ j=1 cijxj = 0, i = 1, · · · , d− k (1) ( que vol dir la intersecció de d− k hiperplans). Amb notació matricial, com abans, MX = 0 on M = (mij) és una matriu (d − k) × d de rang d − k. Alternativament, podem donar V en forma paramètrica, triant k vectors de V linealment independents, ~u1, · · · , ~uk és a dir que formen una base de V , i posant ~OP = ∑k j=1 λj ~uj. Si, com abans, els vectors ~uj s’expressen ~uj = ∑d i=1 aij~ei = (a1j, · · · , adj), amb notació matricial X = MΛ, on M és una matriu d× k de rang k i Λ és el vector columna de les λ. Els k nuúmeros λ1, λ2, · · · , λk determinen els punts de V . Hi tenim també els subespais afins P + V que són paralels a V i passen per P . Aquest es descriuen posant X = P + MΛ o bé amb d− k equacions com a (1) no homogènies. 2 ‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖, anomenada la desigualtat triangular. Donats dos punts x = (x1, · · · , xd), y = (y1, · · · , yd) de l’espai euclidià definim la distància euclidia entre ells per d(x, y) = d(y, x) = ‖y − x‖ = √ (y1 − x1)2 + · · ·+ (yd − xd)2. També utilitzarem sovint |x − y| per designar la distància. Si tenim tres punts x, y, z, com que z − x = (z − y) + (y − x) tindrem, per la desigualtat triangular, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Tambe tindrem d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) i per tant |d(x, z)− d(x, y)| ≤ d(y, z). Tenim per tant quantificada la noció de proximitat entre punts, diem que x, y són propers si d(x, y) és molt petita. Donat un subespai vectorial V de dimensió k, 0 < k < d, anomenem subespai ortogonal al subespai V ⊥ = {~u : 〈~v, ~u〉 = 0, ~v ∈ V }. Com que V ⊥ és el conjunt de solucions del sistema homogeni de rang k, MX = 0, on M és una matriu que té com a columnes una base de V , veiem que V ⊥ té dimensió d− k., i òbviament V ∩ V ⊥ = 0. Afirmem que donat x qualsevol, hi ha una descomposició única x = y + z, y ∈ V, z ∈ V ⊥. Si existeix és única perquè si x = y1 + z1 = y2 + z2, aleshores y1 − y2 = z2 − z1 ∈ V ∩ V ⊥ i per tant y1 = y2, z1 = z2. Per veure que existeix prenem qualsevol base ortonormal ~v1, ~v2, · · · , ~vk de V ; el y que busquem ha de ser de la forma y = ∑ λi~vi i complir λi = 〈y, ~vi〉 = 〈x− z, ~vi〉 = 〈x, ~vi〉, per tant ha de ser y = ∑ i〈x, ~vi〉~vi. Això mateix demostra que x − y ∈ V ⊥. Aquesta descomposició de x s’anomena la descomposició ortogonal de x, i y s’anomena la projecció ortogonal de x sobre V . 5 Si w ∈ V , tenim que x − w = y − w + z amb y − w ∈ V, z ∈ V ⊥, per tant ‖x− w‖2 = ‖y − w‖2 + ‖z‖2. Veiem aix́ı que d(x,w), w ∈ V és mı́nima quan w = y i val ‖z‖, és a dir, y és el punt de V més proper a V . L’operador definit per PV x = y (que és la identitat en V ) s’anomena el projector sobre V . A diferència del cas d = 1, no és possible definir en Rd cap relació d’ordre que tingui les propietats naturals. Quan d = 2, amb la identificació amb el cos dels nombres complexos, śı es pot definir un producte. 2 El concepte de sistema de coordenades Suposem que tenim un altre sistema de referència determinat per un origen Q i uns vectors ~u1, · · · , ~ud. Tindran una expressió en termes del sistema canònic Q = (b1, · · · , bd), ~uj = d∑ i=1 aij~ei. Els nombres aij els organitzem en la matriu A = (aij) on i és l’index de les files i j el de les columnes, aix́ı els vectors columna d’A són els ~uj. Com que aquests vectors ~uj formen una base, la matriu A és invertible, té determinant diferent de zero. Un punt P que en el sistema canònic té coordenades P = (x1, x2, · · · , xd) tindrà unes altres coordenades (y1, · · · , yd) en aquest altre sistema de re- ferència. La relació entre unes coordenades i les altres les obtenim igualant components en (x1 − b1, · · · , xd − bd) = ~QP = d∑ j=1 yj ~uj, això és xi = bi + d∑ j=1 yjaij, i = 1, · · · , d. En aquest punt és on veiem que és convenient utilitzar la notació matricial: X és el vector columna dels xi, Y el vector columna del yi, Q el dels bi i escrivim X = Q+ AY. 6 La transformació inversa-la que dóna les coordenades y en termes de les x és Y = A−1(X −Q), on A−1 designa la matriu inversa d’A. Quant els vectors ~u1, · · · , ~ud són de longitud 1 i dos a dos perpendiculars parlem de sistemes de referència cartesians. Això significa que d∑ i=1 aijaik = δjk, que en notació matricial diu que AtA = I, és a dir, que la trasposta At és la matriu inversa d’A. Aqueste matrius s’anomenen ortogonals. Hi ha però altres maneres de situar els punts, hi ha sistemes de coorde- nades no afins. Per exemple en el plà R2, si posem x = r cos θ, y = r sin θ, amb r ≥ 0 i θ ∈ R, veiem que amb r fix el punt P = (x, y) va recorrent el cercle de radi r amb periode 2π. Diem que (r, θ) són coordenades polars de P . Un sistema de coordenades abstracte en Ed on en una part U ⊂ Ed vol dir una aplicació Φ : U −→ Rd, que assigna a cada punt P ∈ U un conjunt ordenat de d nombres ( les coordenades del punt P ) i que tingui dues propietats: • Que sigui injectiva (bijectiva sobre la imatge). Punts diferents han de tenir coordenades diferents. • Ha de ser cont́ınua. Ja precisarem més endavant el significat d’això; intuitivament vol dir que si P, P ′ són propers, les seves coordenades també ho han de ser. Llavors, si volem que les coordenades polars estiguin ben definides, hem de posar r(P ) = √ x2 + y2 i hem de triar per a cada P un únic θ(P ). Habi- tualment, triem θ ∈ [0, 2π); això correspon a que per a P diferent de l’origen, θ(P ) és l’angle que forma el vector ~OP amb l’eix positiu de les x, mesurat en 7 tenim en la parametrització d’un pla a R3 o més generalment d’una varietat lineal definida per (1), on deiem que els seus punts poden ser descrits per X = MΛ. Hi ha tants punts a la varietat lineal com paràmetres Λ, de tal manera que podem pensar els λ com a coordenades dels punts de la varietat lineal. 3 Transformacions lineals Parlem ara de transformacions lineals T : Rd −→ Rm, transformacions que associen un punt T (P ) a cada punt P ( o vectors a vectors). En el sistema canònic, associa m números y = (y1, · · · , ym) a d números x = (x1, · · · , xd), donats en forma matricial per Y = MX, on M és una matriu m×d, de m files i d columnes. La matriu M s’anomena la matriu de T en la base canònica. Els vectors columna d’M són les imatges ~ui = T ~ei de la base canònica i la imatge de T és el subespai generat per aquests vectors, de dimensió igual al rang d’M , per definició. Sabem molt bé com discutir un sistema lineal TX = Y de m equacions amb d incògnites. Si utilitzem unes altres coordenades X ′ per a P i Y ′ per a T (P ), donades per canvis de coordenades X = AX ′, Y = BY ′, de BY ′ = Y = MX = MAX ′ veiem que B−1MA és la matriu de T en les noves coordenades. Quan m = d, la composició d’una transformació lineal amb una translació Tx = x+ P s’anomena una transformació af́ı. Convé destacar per tant que si tenim d vectors ~u1, · · · , ~ud que formen una base i els posem com a vectors columna d’una matriu A, aquesta matriu A és alhora la matriu de la transformació lineal T que transforma ~ei en ~ui (que efectivament mou els punts), i la matriu de l’aplicació identitat (que no mou els punts) quan utilitzem la base ~u1, · · · , ~ud i la canònica. Tenim una interpretació dinàmica i estàtica d’una matriu. Per (3), una transformació lineal T de Rd en si mateix preserva longituds, és a dir, ‖T~u‖ = ‖~u‖ per a tot ~u, si i només si preserva el producte escalar, és a dir 〈T~u, T~v〉 = 〈~u,~v〉. Les anomenem transformacions ortogonals perquè això és el mateix que dir que la matriu M de T en el sistema canònic ( o en quelsevol base ortonor- mal) és una matriu ortogonal. Evidentment, donada una base ortonormal 10 hi ha una única transformació ortogonal que transforma la base canònica en aquesta. O també, donades dues bases ortonormals, hi ha una única transformació ortogonal que trasnforma una en l’altra. La composició d’u- na transformació ortogonal amb una translació preserva la distància entre punts; rećıprocament, si T és una aplicació de Rd en śı mateix que preserva la distància, d(Tx, Ty) = d(x, y) per a tot parell x, y, llavors T és una tras- lació seguida d’una transformació ortogonal (exercici). Per això s’anomenen també moviments ŕıgids. Acabem aquesta secció amb la noció de norma d’una transformació lineal T : Rd −→ Rm. Suposem que Tx = y està donada per una matriu M d’ordre m × d en la base canònica, el vector y té components yj = ∑d i=1mijxi, j = 1, · · · ,m. Aleshores, com que |xi| ≤ ‖x‖, |yj| ≤ ( ∑ i |mij|)‖x‖, i per tant ‖y‖ = ( ∑ j |yj|2) 1 2 ≤ ( ∑ j ( ∑ i |mij|)2) 1 2‖x‖, és a dir, ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ per a una certa constant C. Això significa que ‖Tx‖‖x‖ es manté acotat si x 6= 0, i podem definir la norma ‖T‖ ( o de M) per ‖T‖ = sup{‖Tx‖ ‖x‖ , x 6= 0}. Dit d’una altra manera, ‖Tx‖ ≤ ‖T‖‖x‖ i ‖T‖ és la més petita de les cons- tants C que compleixen ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ per a tot x. Observem que si y = x‖x‖ , llavors ‖y‖ = 1 i per la linealitat ‖Tx‖‖x‖ = ‖Ty‖, per tant ‖T‖ = sup{‖Ty‖ : ‖y‖ = 1}. El càlcul expĺıcit de ‖M‖ per a una matriu m× d és immediat si m = 1. En efecte, en aquest cas, si T (x) = m1x1 + · · · + mdxd, introduim el vector ~v = (m1, · · · ,md) de manera que T (~u) = 〈~u,~v〉, és a dir, T consisteix en multiplicar escalarment per ~v; per la desigualtat de Cauchy-Schwarz, |T (~u)| ≤ ‖~u‖‖~v‖, de forma que ‖T‖ ≤ ‖~v‖; ara bé, com que per a ~u = ~v hom té una igualtat resulta que ‖T‖ = ‖~v‖. 11 En dimensió d = 2, podem parametritzar els y de longitud 1 per y = (cos θ, sin θ), 0 ≤ θ ≤ 2π, i com que ‖Ty‖ és una expressió en sin θ, cos θ, és una funció cont́ınua de θ, amb la qual cosa el suprem anterior és de fet un màxim, és assolible. i calculable. Més endavant veurem que aquest fet- que el suprem sigui assolible- és cert en qualsevol dimensió. En dimensió d > 2, llevat de casos particulars, és molt complicat donar una expressió exacta per a ‖M‖; de fet no té gaire interès trobar-la, amb l’estimació ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ ja en tindrem prou més endavant. 4 La topologia de l’espai euclidià Anomenem bola oberta de centre x i radi r > 0 al conjunt B(x, r) = {y : d(x, y) < r}, i bola tancada de centre x i radi r al conjunt B(x, r) = {y : d(x, y) ≤ r}, que és la reunió disjunta de B(x, r) amb l’esfera S(x, r) = {y : d(x, y) = r}. La distància d(x, y) quantifica la noció de proximitat. Ara bé, si d > 1 hi ha altres maneres de definir la longitud d’un vector, les boles i en definitiva la distància. En general, una norma q a Rd és una aplicació q : Rd → [0,+∞) que compleix • q(~u+ ~v) ≤ q(~u) + q(~v) • q(λ~u) = |λ|q(~u) • q(~u) = 0 si i només si ~u = 0 Observem que això implica, com abans |q(~u)− q(~v)| ≤ q(~u− ~v). Cada norma dóna lloc a una distància dq(x, y) = q(x− y) i a una familia de boles Bq(x, r) = {y : dq(x, y) < r}. Per exemple, són normes ‖~u‖1 = |u1|+ |u2|+ · · ·+ |ud|, ‖~u‖∞ = max(|u1|, |u2|, . . . , |ud|). 12 • Els que no són ni interiors no exteriors són els punts frontera, que compleixen que tota bola B(x, r) talla tant A com Rd\A = Ac. Formen la frontera d’A, designada Fr(A). El conjunt A s’anomena obert si Å = A, i s’anomena tancat si A = A. Evidentment, l’interior, exterior i frontera d’un conjunt són conjunts disjunts, i A = Å ∪ Fr(A) = Rd \ Ae,Rd \ A = Rd \ Å. Aix́ı, A és obert si i només si Rd \A és tancat. És immediat de comprovar que la reunió de conjunts oberts és obert, la intersecció d’un nombre finit d’oberts és obert; equivalentment, una reunió finita de tancats és tancada, i la intersecció arbitrària de tancats és tancada. Si B ⊂ A compleix que A ⊂ B, diem que B és dens en A. Per exemple, el conjunt de punts amb coordenades racionals, Qd, és dens en Rd. En efecte, donada una bola B(x, r), és suficient triar per a cada i = 1, 2, · · · , d un racional yi tal que |xi − yi| < rd ; llavors |x− y| ≤ ∑ i |xi − yi| < r. Entre els punts de A hi ha els punts d’acumulació d’A, que són aquells tals que tota bola B(x, r) conté punts d’A diferents de x. Això és el mateix que dir que tota bola B(x, r) conté infinits punts d’A. El conjunt de punts d’acumulació d’A es designa per A′. Els punts de A que no són d’acumulació són els punts x ∈ A pels quals hi ha una bola B(x, r) tal que x és l’únic punt d’A en B(x, r), i s’anomenen äıllats. Aix́ı, A és tancat si i només si A′ ⊂ A. Finalment, direm que un conjunt A és acotat si està inclos en una bola, és a dir, hi ha M > 0 tal que |x| ≤M per a tot x ∈ A. En termes de successions, és evident de provar que x ∈ A si i només si hi ha una successió (xn) de punts d’A tal que xn → x, i és d’acumulació si podem triar diferents els punts de la successió. 5 Conjunts compactes En dimensió d = 1, una successió (xn) o bé no és acotada, i llavors té una par- cial amb ĺımit∞, o bé és acotada, i llavors té una successió parcial monòtona convergent. En particular, una successió acotada sempre té una parcial con- vergent. Això implica que tot conjunt A infinit i acotat de R té punts d’a- cumulació finits. Això mateix podem enunciar en dimensió qualsevol. Teorema. Tota successió acotada (xn) de punts de Rd té una successió par- cial convergent. En conseqüència, tot conjunt A infinit i acotat de Rd té punts d’acumulació finits. 15 Demostració. Prenem (xn1 ), la successió de les primeres components de (x n); és acotada i per tant té una parcial (xnk1 ) convergent. Aix́ı, y k = xnk és una successió parcial de (xn) i la successió de les primeres coordenades és convergent. Ara considerem (yk2), la successió de les segones components de (yk), també acotada i per tant amb una parcial (y kp 2 ) convergent, etc. En d etapes veiem que la successió (xn) té una parcial (xnk) tal que totes les components (xnki ), i = 1, 2, · · · , d són convergents, i per tant és convergent. En algunes parts del curs ens serà útil el següent concepte. Diem que un conjunt K és compacte per successions si tota successió (xn) de punts de K té una parcial convergent a un punt de K. Teorema. Un conjunt K és compacte per successions si i només si és tancat i acotat. Demostració. Suposem que K és tancat i acotat i sigui (xn) una successió de punts de K. Pel teorema anterior, té una parcial convergent a un punt x; però sent K tancat, serà x ∈ K. Rećıprocament, suposem que tota successió de punts de K té una parcial convergent a un punt de K, i demostrem que K ha de ser tancat i acotat per reducció a l’absurd. Si no fos acotat, per a cada n hi haurà xn ∈ K amb ‖xn‖ > n. És evident que xn no pot tenir cap parcial convergent a un punt de K. Suposem ara que x ∈ K, és a dir, hi ha una successió (xn) de punts d’K que convergeix a x. La successió (xn) tindrà una successió parcial (xnk) convergent a un punt P ∈ K, per hipòtesi. Però essent parcial de (xn), té ĺımit x; per tant x = P ∈ K. Existeix una altra caracterització diferent dels conjunts compactes en termes de recobriments oberts. Un recobriment obert d’un conjunt A és una col.lecció Uj d’oberts tals A ⊂ ∪Uj. Un conjunt K s’anomena compacte si tot recobriment obert de K admet un subrecobriment finit; és a dir, si oberts Uj cobreixen K, un nombre finit d’ells també cobreix K. Podem enunciar aquesta propietat només en termes de subconjunts de K; primer introduim una nova definició. Un subconjunt F ⊂ K s’anomena tancat en K si tot punt de K que sigui adherent a F és de F , és a dir, K ∩ F = F ; això és el mateix que dir que F és de la forma F = K ∩ G on G és tancat. Aleshores, si Uj és obert, Gj = U cj és tancat, Fj = Gj ∩ K és un tancat de K. Que els Uj cobreixin K és equivalent a 16 ∩jFj = ∅. Que un nombre finit dels Uj cobreixin K equival a dir que un nombre finit dels Fj són disjunts. Per tant K és compacte si i només si per a tota col.lecció Fj de tancats de K amb intersecció buida, un nombre finit d’ells ja tenen intersecció buida. Equivalentment, K és compacte si ∩jFj 6= ∅ per a tota col.lecció Fj de tancats de K que compleixi ∩j∈JFj 6= ∅ per a tot J ⊂ I finit. Ens proposem provar que un conjunt és compacte si i només si és compacte per successions. Primer veurem que tots els recobriments els podem suposar numerables. Teorema. Si (Uj) és una familia arbitrària d’oberts, una subfamilia nume- rable (Ujn) té la mateixa unió. Demostració. Considerem la familia de totes les boles amb centre de coorde- nades racionals i radi racional; aquesta familia és numerable, per tant podem fer una llista (Bk), k ∈ N. Si x ∈ Uj, hi ha B(x, r) ⊂ Uj. Hi ha una bola B(y, q) de centre i radi racionals tal que x ∈ B(y, q) ⊂ B(x, r) ⊂ Uj: en efecte, prenem primer y ∈ Qd tal que |x − y| < r 4 i després un racional q, r 2 < q < r 4 . Per tant podem associar a tot x ∈ ∪Uj un k(x) ∈ N tal que x ∈ Bk(x), i tal que Bk(x) està inclòs en un dels Uj, i ja. Teorema. Són equivalents, per a un conjunt K no buit de Rd: 1. K és tancat i acotat. 2. K és compacte per successions. 3. Si Fn és una successió decreixent, Fn+1 ⊂ Fn, de subconjunts tancats de K no buits, llavors ∩nFn no és buit. Equivalentment, si ∩nFn és buit, algun dels Fn també ho és. 4. K és compacte. Demostració. Ja sabem que 1,2 són equivalents. Veiem que 2 implica 3. Suposem que K és compacte per successions i que Fn és com a l’enunciat. Formem una successió escollint xn ∈ Fn, per tant xm ∈ Fn,m > n. Aquesta successió té una parcial convergent a un punt x ∈ K; però com que x és el limit de la cua (xm),m > n, i Fn és tancat en K, hom té x ∈ Fn per a cada n. Per veure que 3 implica 4, prenem un recobriment per oberts de K; pel teorema anterior, podem suposar que és un recobriment numerable (Un); el 17 distribució inicial de temperatura f0(x) = u(x, 0) determina u(x, t) en tot instant posterior t. En dimensió d = 1, habitualment visualitzem f mitjançant el gràfic de f , és a dir, el conjunt de punts (x, f(x)) en el pla, que designem y = f(x). De la mateixa forma, si tenim una funció f de dues variables (x, y) el gràfic de f és el conjunt de punts de l’espai (x, y, f(x, y)), conjunt que designem z = f(x, y). Una altra forma de visualitzar gràficament una funció f de d variables és mitjançant els conjunts de nivell. Aquests són els conjunts Lc = {x : f(x) = c}. Evidentment, dos conjunts de nivell corresponents a valors diferents de c són disjunts. La seva unió és tot el domini de definció de f , perquè cada punt P pertany a Lc amb c = f(P ). Quan d = 3 parlem de superficies de nivell i quan d = 2 de corbes de nivell. Per exemple, quan f és alçada, les corbes de nivell són les representades als mapes topogràfics. Per ser més precisos, anomenarem superficie de R3 (definida en forma cont́ınua) tot conjunt de punts S = {(x, y, z) : f(x, y, z) = c}, tal que a S hi hagi dos graus de llibertat. Intüıtivament, a R3 hi tenim tres graus de llibertat, i en posar un lligam f(x, y, z) = c ens en queden dos d’efectius. La forma precisa d’enunciar que a S hi ha dos graus de llibertat és que per a tot punt P ∈ S hi ha una bola B(P, r) tal que S ∩ B(P, r) és parametritzable mitjançant dos paràmetres s, t, la qual cosa vol dir que hi ha tres funcions h1(s, t), h2(s, t), h3(s, t) tals que (x, y, z) ∈ S ∩ B(P, r) si i només si x = h1(s, t), y = h2(s, t), z = h3(s, t) per a uns valors únics de s, t que anomenem els paràmetres o coordenades de (x, y, z). Habitualment aconseguirem la parametrització globalment, com passa per exemple quan S és un pla; per simplificar la notació utilitzem x(s, t), y(s, t), z(s, t) per designar la parametrització. També diem que S està donada en forma paramètrica per aquestes tres equacions. Per exemple, x2 + y2 + z2 = r2, 20 no defineix cap superficie si r = 0, però si r > 0 defineix l’esfera de centre l’origen i radi r, que es parametritza amb dos paràmetres x = r sinφ cos θ, y = r sinφ sin θ, z = r cosφ. Si g(x, y) és una funció de dues variables el gràfic és la superficie regular de R3 que de forma continua està donada per f(x, y, z) = z − g(x, y) = 0, i de forma paramètrica pels dos paràmetres x, y amb parametrització global x = x, y = y, z = g(x, y). De la mateixa forma, anomenarem corba del pla (definida en forma cont́ınua) tot conjunt de punts Γ = {(x, y) : f(x, y) = c}, tal que a Γ hi hagi un sol grau de llibertat. Això vol dir que localment Γ és parametritzable mitjançant un paràmetre t ∈ R i dues aplicacions x(t), y(t): un (x, y) és de Γ si i només si x = x(t), y = y(t) per a un únic valor de t. Entre les corbes del pla hi tenim els gràfics y = g(x) de funcions d’una variable, que en forma cont́ınua és f(x, y) = y− g(x) = 0 i es parametritzem amb x mitjançany x = x, y = g(x). Una corba regular Γ a l’espai, definida en forma cont́ınua, és la intersecció de dues superficies Γ = {(x, y, z) : f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0}, de manera que hi hagi un sol grau de llibertat: per a cada punt (x, y, z) ∈ Γ hi ha un únic valor de t tal que x = x(t), y = y(t), z = z(t). Evidentment, les corbes i superficies poden venir donades utilitzant al- tres sistemes de coordenades; de fet, una de les utilitats dels sistemes de coordenades és que certes corbes i superficies s’hi expressen d’una forma més senzilla. Per exemple, en el pla, amb coordenades polars (r, θ), la corba des- crita en forma paramètrica per r = g(θ) amb g creixent és una espiral que en les coordenades cartesianes s’escriuria x = g(θ) cos θ, y = g(θ) sin θ. A l’espai, si amb coordenades esfèriques posem r = 1, 2φ = θ tindrem una mena d’espiral sobre l’esfera de radi 1. 21 Abans d’estudiar amb un cert detall les superficies de R2 i R3 donades per equacions quadràtiques fem unes consideracions generals. Suposem que tenim una corba Γ al pla donada per f(x, y) = 0. Llavors, f(x, √ y2 + z2) = 0 és la superficie S de R3 que s’obté fent girar Γ al voltant de l’eix de les x, perquè per a un punt (x, y, z) la seva distància a l’eix de les x és √ y2 + z2 (el que un punt sigui a S o no depen nomes de x i d’aquesta distància). Si x = h(t), y = g(t) és una parametrització de Γ, aleshores x = h(t), y = g(t) cos θ, z = g(t) sin θ, és una parametrització de S. Anàlogament, f( √ x2 + z2, y) = 0 és la super- ficie de R3 obtinguda fent girar Γ al voltant de l’eix de les y, amb parame- trització x = h(t) cos θ, y = g(t), z = h(t) sin θ. 7 Les còniques de R2 i les quàdriques de R3 Després de les funcions lineals (polinomis de grau 1 en les coordenades), les funcions més senzilles són les quadràtiques o polinomis de grau dos en les coordenades. Aqui ens convé notacionalment utilitzar la notació x pels punts i xi, i = 1, 2, · · · , xd per a les coordenades. Aquestes funcions tenen tres componenents, f = f1 + f2 + c, on c és constant, f2 és lineal f2(x) = ∑ i bixi, i f2 és purament quadràtica o homogènea, f2(x) = d∑ i,j=1 aijxixj. (f2 es diu homogènea perquè f2(λx) = λ 2f2(x)). Si i 6= j substituint aij per 1 2 (aij + aji) podem suposar que aij = aji. Fixem-nos que una altra forma d’escriure-ho, la més habitual, és agrupant els termes amb i 6= j, f2(x) = d∑ i=1 aiix 2 i + 2 ∑ i<j aijxixj. 22 Seguidament fem dues observacions: primer, si λ, µ són valors propis diferents, llavors Eλ, Eµ són subespais perpendiculars, perquè si ~u ∈ Eλ, ~v ∈ Eµ, llavors utilitzant que A és simètrica λ〈~u,~v〉 = 〈A~u,~v〉 = 〈~u,A~v〉 = µ〈~u,~v〉. Segon, el mateix argument mostra que si Eλ és un espai propi, llavors el seu ortogonal E⊥λ és invariant per A. Amb tot això ja estem preparats per provar el teorema per inducció sobre d, i per a això, com veurem, és suficient provar que tota matriu simètrica té valors propis reals. Per a d = 2, suposem que A = [ a b b c ] El polinomi caracteristic és (a−λ)(c−λ)− b2 que té discriminant (a+ c)2− 4(ac − b2) = (a − c)2 + b2 positiu. Per tant hi ha o bé dos valors propis diferents, o bé b = 0, a = c, amb la qual cosa A ja és diagonal. En el primer cas, triant un vector unitari en cada espai propi, seran perpendiculars i ja formen una base ortonormal. Suposem per inducció que tota transformació A que opera en un subespai de dimensió d′ < d, simètrica, diagonalitza en una base ortonormal. Donada A simètrica d’ordre d × d, provem que té un valor propi real (si fos d = 3, que és de fet el cas que ens interessa, això és evident perquè el polinomi caracteŕıstic té grau tres). De fet tots els valors propis λ són reals. Pel teorema fonamental de l’àlgebra sabem que hi ha valors propis complexos λ. Si treballem a Cd, veiem que hi ha vectors X en principi complexos tals que AX = λX. Si multipliquem per l’esquerra per (X)t trobem (X)tAX = λ‖X‖2. Ara bé, l’expressió de l’esquerra és ∑ ij xiaijxj, que és real perquè aij = aji, i per tant també λ és real. Un cop sabem que A té un valor propi real λ, considerem l’espai propi Eλ dins el qual triem qualsevol base ortonormal. Si Eλ és tot ja hem acabat. Si no, considerem la restricció A′ de A al perpendicular E⊥λ , que té dimensió d′ < d i apliquem la hipòtesi d’inducció. 25 En les coordenades Y definides per X = MY , l’expressió quadràtica X tAX es transforma en ∑ i λiy 2 i (on cada λi pot apareixer repetit uns quants cops). Ho podem pensar de dues maneres equivalents: que fem un canvi de coordenades donat per X = MY i llavors la nostra quàdrica (que no es mou) té l’expressió més senzilla, o bé que fem un moviment rigid TX = Y donat per la matriu M t, Y = M tX i que aquesta transformació T envia la nostra quàdrica a la quàdrica d’equació ∑ i λiy 2 i = 0. Considerem ara en el pla les corbes donades per equacions quadràtiques, les còniques. Pel teorema anterior podem suposar que l’equació és, en unes certes coordenades cartesianes, de la forma Ax2 +By2 + Cx+Dy + E = 0. Si A 6= 0, escrivim Ax2 + Cx = A(x + C 2A )2 + E − C2 4A i fem el canvi x′ = x + C 2A ; anàlogament si B 6= 0. ës a dir, eliminem el terme lineal si el corresponent terme quadràtic no és zero. Amb això, arribem a les següents formes canòniques: Ax2 +By2 + E = 0, Ax2 +Dy + E = 0. En el primer cas es tracta d’una elipse si A,B tenen el mateix signe (llavors E ha de tenir el signe contrari, altrament el conjunt és buit), i una hiperbola si A,B tenen signes diferents. El segon cas es tracta d’una paràbola. Considerem ara a l’espai les superficies donades per equacions quadràtiques, que pel teorema anterior podem ja suposar de la forma Ax2 +By2 + Cz2 +Dx+ Ey + Fz +G = 0. Exactament igual, si el terme en x2 hi és, podem fer desapareixer el terme en x, etc. Arribem aleshores a les següents formes canòniques, mòdul canvis de coordenades cartesianes Ax2 +By2 + Cz2 +G = 0, ABC 6= 0 Ax2 +By2 + Fz +G = 0, AB 6= 0 Ax2 + Ey + Fz +G = 0, A 6= 0 En el primer cas, si A,B,C tenen el mateix signe (i G el signe oposat) es tracta d’elipsöıdes. Habitualment s’escriuen sota la forma x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. 26 Si hi ha dos del mateix signe, podem suposar A,B > 0, C < 0; en aquest cas, si G < 0 es tracta d’un hiperboloide d’un full, que s’acostuma a escriure x2 a2 + y2 b2 − z 2 c2 = 1. Si G > 0 d’un hiperboloide de dos fulls, que escrivim x2 a2 + y2 b2 + 1 = z2 c2 . Si G = 0 d’un con, que escrivim x2 a2 + y2 b2 = z2. En el segon cas, si F = 0 es tracta d’ un cilindre eliptic si A,B són del mateix signe, x2 a2 + y2 b2 = 1. i d’un cilindre hiperbòlic si A,B tenen signe oposat. x2 a2 − y 2 b2 = 1. Si F 6= 0 podem suposar G = 0 i es tracta d’un paraboloide eĺıptic si A,B tenen el mateix signe x2 a2 + y2 b2 = z. i d’un paraboloide hiperbòlic si A,B tenen signe oposat x2 a2 − y 2 b2 = z. En el tercer cas, si E = F = 0 es tracta de dos plans paralels, x = ± √ −G A , en diem una quàdrica degenerada. Si E o F no són zero, posem E, llavors podem suposar F = G = 0 i es tracta d’un cilindre paràbolic y = cx2. Expliquem la diferència entre els hiperboloides d’un full i els de dos fulls. Considerem l’equació d’un hiperboloide d’un full en el cas A = B per exemple x2 + y2 = z2 + 1. 27 Suposat cert per a d − 1, sigui T una transformació ortogonal amb matriu B que transformi el subespai generat per ~u1, · · · , ~ud−1 en Rd−1, és a dir, la matriu BA té la darrera fila de la forma (0, · · · , 0, c) i a sobre els zeros la matriu A′ que té com a vectors columna els vectors T ~u1, · · · , T ( ~ud−1 mirats a Rd−1. Sigui P ′ el paralelepiped determinat pel vectors ~u1, · · · , ~ud−1; llavors per la hipòtesi d’inducció md(P ) = md(T (P )) = md−1(T (P ′))|h = | detA′|h, on h és l’alçada que té T (P ) sobre Rd−1, que és c, la darrera component de T ~ud. Per tant md(P ) = | detA′||c| = | detBA| = | detA|, perquè | detB| = 1. Ara demostrem el cas k < d. Prenem una base ortonormal ~v1, ~v2, · · · , ~vk del subespai generat pels ~u1, · · · , ~uk; cada ~uj = ∑ i bij~vi. Pel que acabem de veure, mk(P ) = | detB|. Però l’entrada (i, j) de la matriu AtA és el pro- ducte escalar 〈~ui, ~uj〉. Si calculem aquest mateix producte escalar utilitzant ~uj = ∑ i bij~vi i el fet que els ~vj són ortogonals, veiem que A tA = BtB, d’on det(AtA) = (detB)2 = mk(P ) 2. La matriu AtA, d’ordre k× k, s’anomena la matriu de Gram dels vectors ~u1, · · · , ~uk. En el cas particular k = d − 1 es pot introduir un concepte relacionat. Donats d − 1 vectors ~u1, · · · , ~ud−1 a Rd definim el seu producte vectorial u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1 com el vector que en la base canònica té la següent expressió, obtinguda desenvolupant per la darrera columna el determinant de la matriu M que s’obté completant la matriu A amb la columna ~e1, · · · , ~ed. Evidentment, aquest vector serà zero si els vectors són linealment depen- dents. Mirem que ès en cas contrari. Fixem-nos que per a qualsevol vector ~v, el producte escalar 〈u1∧u2∧· · ·∧ud−1, v〉 és el determinant de la matriu que s’obté cpmpletant A amb la columna que té les components de ~v en la base canònica. En particular, 〈u1∧u2∧· · ·∧ud−1, ui〉, i = 1, 2, · · · , d−1 coincideix amb el determinant de la matriu que s’obté completant A amb la seva i-sima columna, matriu que tindrà dues columnes iguals i per tant amb determinant zero. És a dir, el producte vectorial u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1 és perpendicular a cadascun d’ells, i per tant també al subespai de dimensió d− 1 generat pels 30 vectors. Aplicat a v = u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1 veiem que ‖u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1‖2 és la suma dels quadrats dels d menors d’ordre d − 1 de la matriu A, per tant u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1 és diferent de zero si són linealment independents. Això significa que u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1 és un vector no nul perpendicular al subespai que generen. Si ara considerem el vector unitari ~u = u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1 ‖u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1‖ , tindrem utilitzant el teorema anterior md−1(P ) = | det(u1, u2, · · · , ud−1, v) = 〈u1∧u2∧· · ·∧ud−1, v〉 = ‖u1∧u2∧· · ·∧ud−1‖. En definitiva, si els vectors són linealment independents, u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ ud−1 és un vector perpendicular a tots ells de longitud igual al volum (d − 1)- dimensional del paralelepiped que determinen. Quan d = 3 la direcció de ~u1 ∧ ~u2 és la determinada per la regla de la mà dreta: si els dits els corbem de ~u1 cap ~u2, (és a dir, l’index apunta en la direcció de ~u1 i els altres dits menors en la direcció de ~u2, llavors ~u1 ∧ ~u2 té la direcció del polze. La teoria d’integració de Riemann en una variable ens permet definir àrees i longituds en alguns casos. En primer lloc, per la mateixa definició d’integral de Riemann, si f és una funció positiva integrable Riemann en [a, b], la integral ∫ b a f(x) dx es pren com a definició de l’àrea del subgraf A = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}. Aix́ı mateix, la longitud de la corba Γ = {(x, y) : y = f(x), a ≤ x ≤ b} es defineix com ∫ b a √ 1 + f ′(x)2 dx. El cos que s’obté fent girar A al voltant de l’eix de les x té volum π ∫ b a f(x)2 dx, mentre que si 0 < a < b i el fem girar al voltant de l’eix de les y té volum 2π ∫ b a xf(x) dx. 31 La superficie S que s’obté fent girar Γ al voltant de l’eix de les x té àrea definida per 2π ∫ b a f(x) √ 1 + f ′(x)2 dx, mentre que si la fem girar al voltant de l’eix de les y té àrea 2π ∫ b a x √ 1 + f ′(x)2 dx. Amb aquestes fórmules per a cossos de revolució és possible calcular l’area de l’esfera de radi r, 4πr2, el volum d’una bola de radi r, 4 3 πr3, etc. En aquest curs avançarem una mica i veurem com definir el volum d- dimensional de qualsevol subconjunt A ⊂ Rd raonable, i la longitud de corbes i superficies generals. 9 Ĺımits En aquest apartat designem B′(a, r) = {x : 0 < |x − a| < r}. Suposem que f està definida en B′(a, r) (per tant no necessàriament en a) a valors en Rm. La idea de ĺımit en a és la mateixa que en una variable: diem que limx→a f(x) = l si per a tot ε > 0 hi ha δ > 0 tal que ‖f(x) − l‖ < ε si ‖x − a‖ < δ. Intüıtivament, diem que f(x) és arbitàriament proper (aquest és el sentit del “per a tot ε) a l quan x s’acosta a a. Més en general, si f està definida en un conjunt general A ⊂ Rd i a és un punt d’acumulació d’A ( la qual cosa vol dir que podem acostar-nos a a tant com vulguem mantenint-nos dins A), diem que limx→a,x∈A f(x) = l si per a tot ε > 0 hi ha δ > 0 tal que ‖f(x)− l‖ < ε si x ∈ A i ‖x− a‖ < δ. Com que totes les normes són equivalents, aquesta noció de convergència és independent de la norma i distància que utilitzem, és intŕınseca a Rd. A l’hora d’analitzar aquest concepte, el primer que veiem és que podem suposar m = 1; això és perquè si fj, j = 1, · · · ,m són les funcions components de f , és evident que f té ĺımit l = (l1, · · · , lm) si i només si fj té ĺımit lj. També és evident que el limit de la suma és la suma de ĺımits , etc. En conseqüència, si f està definida per una expressió E(x) en termes de funcions elementals, hom té limx→a f(x) = E(a) en tots els punts a on E(a) té sentit. Per tant suposem m = 1 i suposem f definida en B′(a, r) per simplificar. El cas d > 1 presenta algunes diferències envers el cas d = 1. En dimensió 32 el mateix que dir que cada funció component de f és cont́ınua en a i també equivalent a dir que per a tota successió de punts (xn), xn ∈ A convergent a a hom té f(xn) → f(a). És evident que si f és cont́ınua en a i g ho és en f(a), aleshores la composició g(f(x)) és cont́ınua en a. Si A′ = A i f és cont́ınua en tots els punts d’A diem que f és cont́ınua en A. Evidentement, la suma, producte etc. de funcions cont́ınues també ho és en els punts on aquestes operacions tenen sentit. Si tenim una expressió E(x) en termes de les coordenades cartesianes xi de x i funcions elementals, E(x) és cont́ınua en tots els punts a on E(a) té sentit (que no dividim per zero, que no prenguem logaritme de quelcom nul o negatiu, etc.). Els punts a on E no té sentit són habitualment äıllats; si existeix limx→aE(x) = l, donant el valor l en a tenim definida una funció cont́ınua arreu. Això s’anomena una discontinüıtat evitable, per exemple sinxy xy és cont́ınua en tot el pla. Passem ara a estudiar les relacions entre compacitat i continüıtat. Proposició. Sigui f : K −→ R una funció cont́ınua en un compacte K de Rd. Aleshores f té un màxim i un mı́nim absoluts en K, és a dir, hi ha (almenys) un punt a ∈ K i (almenys) un punt b ∈ K tals que f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), x ∈ K. Demostració. La demostració és la mateixa que per al cas d = 1 i K un interval tancat. Primer provem que f està acotada superiorment. Si no ho fos, per a cada n ∈ N hi hauria xn ∈ K amb f(xn) > n. Com que K és compacte, hi ha una subsuccessió (xnk) convergent a un punt c ∈ K. Aleshores, d’una banda tenim que f(xnk)→ f(c), per la continüıtat de f en c, i d’altra banda tenim que f(xnk) > nk tendeix a infinit, que és una contradicció. Per tant té sentit considerar M = supx∈K f(x), i cal veure que aquest suprem és un màxim. Per definició, per a cada n hi ha xn ∈ K amb M− 1 n < f(xn) ≤ M , de manera que f(xn) → M . La successió (xn) té una parcial (xnk) convergent a un punt a ∈ K i per la continüıtat de f en a tenim que f(xnk)→ f(a). Però essent parcial de f(xn) té ĺımit M , per tant f(a) = M . El mateix raonament el podem fer amb l’infim i el mı́nim. La versió general del resultat anterior, pel cas m ≥ 1, amb la mateixa prova, és Proposició. Si f : K −→ Rm és una funció cont́ınua en un compacte, la imatge f(K) és un compacte de Rm. 35 Ara podem provar que totes les normes són equivalents a Rd. Teorema. Si q1, q2 són dues normes a Rd, hi ha dues constants m,M > 0 tals que m ≤ q1(x) q2(x) ≤M,x 6= 0. Demostració. És suficient provar que qualsevol norma q(x) és equivalent a la norma euclidea ‖x‖. Primer provem que q(x) ≤M‖x‖ per a una certa cons- tant M . Si e1, · · · , ed és la base canònica, x = ∑ i xiei, aleshores utilitzant les propietats de norma q(x) = q( ∑ i xiei) ≤ ∑ i q(xiei) = ∑ i |xi|q(ei) ≤ ‖x‖ ∑ i q(ei), per tant serveix M = ∑ i q(ei). Ara, novament per les propietats de norma tenim |q(x)− q(y)| ≤ q(x− y) ≤M‖x− y‖, que demostra que q és cont́ınua.Com que q és cont́ınua i l’esfera unitat {x : ‖x‖ = 1} és un conjunt compacte, q hi té un mı́nim m no nul, és a dir q(x) ≥ m > 0, ‖x‖ = 1. Si x 6= 0, aplicant això a x/‖x‖ trobem que q(x) ≥ m‖x‖. La mateixa demostració mostra que a la definició de norma d’una trans- formació lineal, ‖T‖ = sup x 6=0 ‖Tx‖ ‖x‖ = sup ‖x‖=1 ‖Tx‖, aquest suprem s’atany i es tracta doncs d’un màxim ‖T‖ = max x 6=0 ‖Tx‖ ‖x‖ = max ‖x‖=1 ‖Tx‖, 36