Nociones preliminares sobre PVI, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Nociones preliminares sobre PVI y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! B or ra do r 1 Nociones preliminares sobre problemas de valor inicial 1.1 Introducción En este capítulo vamos a estudiar bajo qué condiciones los denominados problemas de valor inicial o problemas de Cauchy admiten soluciones y en qué casos podemos garantizar la unicidad de las mismas. Además se verá la regularidad de las mismas, su dependencia continua respecto a los datos y algunas cuestiones generales sobre su aproximación numérica. Se trata de un capítulo de revisión de conceptos, en el que no se entrará en detalles ni en demostraciones. 1.2 Existencia y unicidad de soluciones En esta sección se recuerdan algunos resultados básicos sobre los problemas de valor inicial, empezando por su definición. Para ello, previamente se introduce el concepto de dominio de Rd, con d ∈ N. Definición 1.1 Un conjunto D ⊂ Rd, con d ∈ N, es un dominio de Rd (no confundir con el dominio de una función) si D es un conjunto abierto y conexo de Rd. ✷ Definición 1.2 (Problema de valor inicial o de Cauchy) Sea D un dominio de Rn+1, n ∈ N, una función f : D → Rn, un instante inicial t0 ∈ R y un valor inicial ξ0 ∈ Rn tal que (t0, ξ0) ∈ D. Un problema de valor inicial (o problema de Cauchy) consiste en encontrar una función diferenciable x(·) : I → Rn solución del problema { x′(t) = f(t, x(t)), t ∈ I x(t0) = ξ0, (1.1) donde I es un intervalo de R de forma que t0 ∈ I y (t, x(t)) ∈ D para todo t ∈ I . ✷ Ejemplo 1.3 Un problema de valor inicial es    x′(t) = 1 2x(t) , t > 0 x(0) = 0, (1.2) para el cual x(t) = √ t, t ≥ 0, es solución. Nótese que en este ejemplo la función f(t, ξ) = 1 2ξ está definida sobre el conjuntoD = R× (R\{0}) y (t0, ξ0) = (0, 0) ∈ D. ✷ Observación 1.4 Cuando f ∈ C(D) entonces, por el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de Barrow, el proble- ma de valor inicial (1.1) es equivalente a encontrar las soluciones x(t) de la ecuación integral x(t) = ξ0 + ∫ t t0 f(s, x(s)) ds. ✷ Observación 1.5 En la mayoría de las aplicaciones, t denota la variable temporal y x la variable espacial (aunque hay otros tipos de problemas, por ejemplo, de tipo geométrico, en lo que esto no suele ser así). Como se aprecia, un problema de valor inicial consta de una ecuación diferencial (denominada autónoma cuando f no depende de t) y de una condición inicial. Nótese que la continuidad de la función f no es necesaria para la existencia de solución del problema de valor inicial (1.1), pues no todas las funciones diferenciables son de clase C1. ✷ Análisis Numérico © Á. M. Ramos y J. M. Rey B or ra do r 4 Nociones preliminares sobre problemas de valor inicial Observación 1.6 Los problemas del tipo    xp)(t) = f(t, x(t), x′(t), . . . , xp−1)(t)), t ∈ I x(t0) = ξ0 x′(t0) = ξ1 · · · xp−1)(t0) = ξp−1 con t0 ∈ I y {ξ0, ξ1, . . . , ξp−1} ⊂ Rn son un caso particular de problemas de valor inicial. Se pueden expresar en la forma (1.1) mediante el cambio de variable1 y(t) = (y1(t), y2(t), . . . , yp(t)) T con y1(t) = x(t), y2(t) = x ′(t), . . . , yp(t) = x p−1)(t). En efecto, puesto que    y′1(t) = y2(t) y′2(t) = y3(t) . . . y′p−1(t) = yp(t) y′p(t) = f(t, y1(t), y2(t), . . . , yp(t)), se tiene la equivalencia    xp)(t) = f(t, x(t), x′(t), . . . , xp−1)(t)), t ∈ I x(t0) = ξ0 x′(t0) = ξ1 · · · xp−1)(t0) = ξp−1 ⇔ { y′(t) = g(t, y(t)) y(t0) = (ξ0, ξ1, . . . , ξp−1) T, donde y ∈ Cp (I;Rnp) y g : I × Rnp → Rnp viene dada por g(t, ζ) = (ζ2, ζ3, . . . , ζp, f(t, ζ1, ζ2, . . . , ζp)) T, siendo ζ = (ζ1, ζ2, . . . , ζp)T. ✷ Observación 1.7 Puesto que en el espacio vectorial de dimensión finita Rn todas las normas son equivalentes, en todo lo que sigue denotaremos por ||·|| a una norma arbitraria de dicho espacio. A la hora de elegir una norma en concreto, tomaremos, salvo que se explicite lo contrario, la norma infinito de un vector v = (v1, v2, . . . , vn)T de Rn o Cn dada por ||v||∞ = máx i=1,2,...,n |vi|, donde |vi| denota, respectivamente, el valor absoluto o el módulo de la componente i–ésima del vector v. ✷ Veamos algunas condiciones que nos aseguren la existencia de soluciones del problema de valor inicial (1.1) así como su unicidad. Teorema 1.8 (Peano (versión local)) Si f es una función continua sobre el rectángulo R = { (t, ξ) ∈ Rn+1 : |t− t0| ≤ α, ||ξ − ξ0|| ≤ β } (1.3) para ciertos α, β > 0, se verifica que existe, al menos, una solución x(t) del problema de valor inicial (1.1) definida en el intervalo [t0 − h, t0 + h] siendo h = mín { α, β M } , (1.4) donde M = máx (t,ξ)∈R ||f(t, ξ)|| . 1En todo lo que sigue se utilizarán los vectores en formato columna, denotando por vT el traspuesto del vector fila v. Análisis Numérico © Á. M. Ramos y J. M. Rey B or ra do r Dependencia continua respecto a los datos de un problema de valor inicial 7 es una función continua, por ser composición de funciones continuas. ✷ 1.4 Dependencia continua respecto a los datos de un problema de valor inicial La solución x(t) del problema (1.1) depende, en realidad, de t, t0, ξ0 y f , por lo que podríamos escribir la solución como x(t; t0, ξ0, f). Puesto que la ecuación diferencial suele ser un modelo de algún fenómeno físico, económico, . . . , cabe esperar ciertos errores en el modelo, en los datos, . . . De este modo surgen, de modo natural, las siguientes preguntas: ¿Cómo se comportarán las soluciones frente a pequeños cambios del modelo o de los datos? ¿Son parecidas las soluciones? A continuación damos un resultado que trata de dar respuesta a estos interrogantes. Teorema 1.19 Sea D un dominio de Rn+1 y supongamos que se cumplen las siguientes propiedades: a) Las funciones f ∈ C(D) y f̃ ∈ C(D). b) La función f es lipschitziana en la segunda variable con constante de Lipschitz L > 0. c) ∣∣∣ ∣∣∣f(t, ξ)− f̃(t, ξ) ∣∣∣ ∣∣∣ ≤ ε para todo (t, ξ) ∈ D. d) Las funciones x(·) : [a, b] → Rn y x̃(·) : [a, b] → Rn son soluciones respectivas de los problemas de valor inicial { x′(t) = f(t, x(t)), t ∈ [a, b] x(a) = ξ0 y { x̃′(t) = f̃(t, x̃(t)), t ∈ [a, b] x̃(a) = ξ̃0, (1.9) con (t, x(t)), (t, x̃(t)) ∈ D para todo t ∈ [a, b]. Entonces, para todo t ∈ [a, b], se verifica que ||x(t)− x̃(t)|| ≤ eL(t−a) ∣∣∣ ∣∣∣ξ0 − ξ̃0 ∣∣∣ ∣∣∣+ e L(t−a) − 1 L ε. (1.10) DEMOSTRACIÓN. Véase [Birkhoff–Rota, Teorema 3, página 145]. ✷ Observación 1.20 La estimación (1.10) implica la dependencia continua de la solución respecto de los datos, en el siguiente sentido: si ∣∣∣ ∣∣∣ξ0 − ξ̃0 ∣∣∣ ∣∣∣ → 0 y ε → 0 entonces ||x(t) − x̃(t)|| → 0 para todo t ∈ [a, b]. Es decir, si los datos de los problemas (1.9) están próximos, las soluciones de los mismos también lo estarán. ✷ 1.5 Cuestiones generales sobre la aproximación numérica de ecua- ciones diferenciales ordinarias Para aproximar numéricamente las soluciones x ∈ Cp(I;Rn) de la ecuación diferencial (vectorial) F (t, x(t), x′(t), . . . , xp)(t)) = r(t) (1.11) sobre un intervalo temporal I = [a, b], con r ∈ C(I;Rn), se suele discretizar el intervalo temporal mediante una malla de nodos del tipo {t0, t1, . . . , tN}, con N ∈ N, verificando que a = t0 < t1 < · · · < tN−1 < tN = b. Nótese que los puntos {t0, t1, . . . , tN} constituyen una partición del intervalo I y no tienen por qué ser equiespaciados aunque, en muchas ocasiones, se considera el paso de discretización fijo h = b− a N y la malla de puntos ti = a+ ih, i = 0, 1, . . . , N. En este caso los nodos son equidistantes. Salvo que se exprese lo contrario, en todo lo que sigue se utilizará este tipo de discretización. Análisis Numérico © Á. M. Ramos y J. M. Rey B or ra do r 8 Nociones preliminares sobre problemas de valor inicial La aproximación numérica utiliza algún esquema numérico (o algoritmo) que sea capaz de encontrar una secuencia {x0, x1, . . . , xN} ⊂ Rn de forma que aproxime la solución x(t) en los nodos de la partición, es decir, xi ≃ x(ti), i = 0, 1, . . . , N (véase la Figura 1.1(a)). t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 Solución exacta Solución aproximada (a) Aproximación por una poligonal. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 Solución exacta Solución aproximada (b) Aproximación por una función escalonada. Figura 1.1: Ejemplos de aproximaciones de una función. En la mayoría de los casos, estos esquemas numéricos se basan en encontrar una aproximación discreta de la funciónF que involucre nodos de la partición y valores aproximados mediante una relación del tipo Fh (ti−r , . . . , ti, . . . , ti+s, xi−r , . . . , xi, . . . , xi+s) = 0, (1.12) que nos permita obtener la secuencia {x0, x1, . . . , xN}. A partir de aquí se obtienen los errores locales εi(h) definidos como εi(h) = x(ti)− xi, i = 0, 1, . . . , N. De esta forma, se obtiene un vector de errores ε(h) = (ε0(h), ε1(h), . . . , εN(h)) T ∈ Rn(N+1) (1.13) cuya “magnitud” queremos medir. Tal y como se ha visto, las aproximaciones numéricas no suelen proporcionar, por regla general, una función xh(t) que sea una aproximación de la solución exacta x(t) en todo el intervalo [a, b], sino un conjunto de vectores xi que aproximan los valores x(ti) (o, en otros casos, cierto promedio de la solución en un intervalo “próximo” a ti). No obstante, a partir de estos valores aproximados se pueden obtener diversas funciones xh(t) que aproximen x(t). Por ejemplo, se puede hacer una interpolación lineal a trozos mediante la poligonal xh(t) = xi + xi+1 − xi h (t− ti), t ∈ [ti, ti+1] (1.14) para i = 0, 1, . . . , N − 1 (véase la Figura 1.1(a)) o, también, considerar la aproximación por la función escalonada xh(t) = xi, t ∈ [ti, ti+1) (1.15) para i = 0, 1, . . . , N − 1 (véase la Figura 1.1(b)). Nótese que, mientras que la función xh(t) definida en (1.14) es siempre continua en todo el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) salvo, quizás, en los puntos {t0, t1, . . . , tN}, la función xh(t) considerada en (1.15) es, en general, discontinua en los nodos {t0, t1, . . . , tN}. Llegados a este punto, podríamos preguntarnos por ∣∣∣∣x− xh ∣∣∣∣ donde ||·|| es una norma en un espacio funcional. Por ejemplo, una vez fijada una norma arbitraria ||·|| en Rn, las normas funcionales más usuales que suelen considerarse para una función f : [a, b] → Rn, son ||f ||∞ = máx t∈[a,b] ||f(t)|| , ||f ||1 = ∫ b a ||f(t)|| dt, ||f ||2 = (∫ b a ||f(t)||2 dt ) 1 2 Análisis Numérico © Á. M. Ramos y J. M. Rey B or ra do r Clasificación básica de los esquemas numéricos. 9 o, en general, para 1 ≤ p < +∞, ||f ||p = (∫ b a ||f(t)||p dt ) 1 p , (1.16) siendo f ∈ C([a, b];Rn).2 En lo sucesivo trataremos principalmente con la norma ||·||∞. En este caso, generalmente se intenta reducir, en la medida de lo posible, uno de los siguientes errores: a) Error de discretización global absoluto: Se define como εabs(h) = ||ε(h)||∞ = máx i=0,1,...,N ||x(ti)− xi||, donde || · || es la norma que se esté utilizando en Rn. b) Error de discretización global relativo: Este tipo de error tiene en cuenta el tamaño de la magnitud que aproxima y viene dado por εrel(h) = εabs(h) ||x(t)||∞ , supuesto que x 6≡ 0 en [a, b]. Estos errores se generan por la acumulación sucesiva de lo que se conoce como error local de truncamiento, que de una manera general y poco precisa (veremos más adelante las definiciones concretas), es el error algorítmico τ(h) cometido en la aproximación del operador diferencial cuando se utiliza la solución exacta x(t), de tal forma que Fh (ti−r, . . . , ti, . . . , ti+s, x(ti−r), . . . , x(ti), . . . , x(ti+s)) + τ(h) = 0. A estos errores algorítmicos hay que añadir los errores de entrada de datos (debidos a imprecisiones o fallos de los instrumentos de medida) y los errores del ordenador que, de forma general, pueden dividirse en: a) Errores de desbordamiento y redondeo, debidos a la incapacidad de un ordenador de representar, de manera exacta, todos los números reales. b) Errores operacionales, cometidos por el ordenador al operar con números. La acumulación de todos los errores que intervienen en el proceso forman lo que se conoce como errores de salida. Esquemáticamente: Errores de entrada + Errores algorítmicos + Errores del ordenador = Errores de salida En los capítulos siguientes, intentaremos dar respuesta a los siguientes interrogantes: • ¿Cómo resolver numéricamente una ecuación diferencial? • ¿Cómo medir el grado de aproximación obtenido? • ¿Cómo comparar dos métodos numéricos distintos para determinar el mejor de ellos? Podemos adelantar que la última pregunta no está bien formulada, en el sentido de que no hay un método que sea el “mejor” de todos. Para calificar a un método como “bueno”, suelen tenerse en cuenta diversos aspectos como su precisión, su coste de implementación en el ordenador (se trata de elegir esquemas numéricos en los que el gasto de memoria, tanto para la ejecución del algoritmo como para el almacenamiento de los datos, no sea “muy grande”),. . . 1.6 Una clasificación básica de los esquemas numéricos de aproxi- mación de problemas de valor inicial Por regla general, en este tipo de problemas, se está interesado en conocer (al menos aproximadamente) la solución del problema para instantes posteriores al instante inicial. Utilizando la notación expuesta en la Sección 1.5 para las apro- ximaciones numéricas, para este tipo particular de problemas se irán calculando, sucesivamente, los valores x1, x2, x3, . . . (uno tras otro). Para ello, una vez calculados los términos {x0, x1, . . . , xi}, se suele calcular xi+1 mediante esquemas numéricos de uno de los dos tipos siguientes: 2Las normas anteriores están definidas sobre espacios funcionales más generales como L∞((a, b);Rn), L1((a, b);Rn), L2((a, b);Rn) y Lp((a, b);Rn), respectivamente. Análisis Numérico © Á. M. Ramos y J. M. Rey