¡Descarga Modelos teoricos de probabilidad y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity! Tema 5. Modelos Teóricos de Probabilidad Nuria Ruiz Estadística. Grado en Fisioterapia. Curso 2011-2012 Índice 1. Introducción 1 2. Distribución Binomial 1 3. Distribución Normal 4 4. Otras distribuciones 7 1. Introducción Hay muchos fenómenos con un comportamiento similar que han dado lu- gar a modelos de probabilidad teóricos que serán aplicables a situaciones con unas determinadas características y de gran utilidad en inferencia estadísti- ca. Definiremos distribuciones de probabilidad teóricas para v.a. discretas y continuas. 2. Distribución Binomial Supongamos que realizamos n veces de forma independiente un experi- mento que tiene sólo dos posibles resultados éxito y fracaso. Supongamos que el suceso éxito ocurre con probabilidad p constante en cada realización, por tanto, el fracaso ocurrirá con probabilidad 1—p. La variable aleatoria X que representa el número de éxitos en las n realizaciones del experimento se dice que tiene distribución Binomial de parámetros n y p. Lo denotaremos por X > B(n, p) La variable aleatoria X podrá tomar valores 0,1,...,n y cada uno de ellos lo toma con probabilidad: n P[X =a]= C Ja =p", 1=0,1,2,...,n El valor esperado y la varianza de esta variable son: E[X] = np Var[x] = np(1= p) La función de probabilidad o la función de distribución de los modelos teóricos usuales están tabuladas, en el caso de la Binomial podemos encontrar tablas para distintos valores de n y de p. En el siguiente ejemplo veremos el uso de la función de probabilidad y su tabulación. Ejemplo 1. Una de cada 10 personas tiene algún tipo de alergia. Se seleccio- nan aleatoriamente 20 individuos y se les entrevista. = Hallar la probabilidad de que en la muestra haya 3 alérgicos a algo. = Hallar la probabilidad de que, como máximo 5 sean alérgicos a algo. = Calcular la probabilidad de que al menos 12 tengan algún tipo de aler- gia. = Calcular la probabilidad de que haya entre 4 y 8 alérgicos. = Calcular la probabilidad de que 15 no sean alérgicos. = ¿Cuántos alérgicos se esperan en la muestra? Distribución Normal. Distintas posiciones. E ON Densidad Figura 3: Función de densidad de la distribución Normal = La campana es simétrica respecto a ju, valores equidistantes a 4 son igualmente probables. Los valores entorno a la media son menos pro- bables al alejarnos de ésta. = La dispersión gd es menor si más densidad de probabilidad está con- centrada entorno a la media (apuntamiento cerca de 4) y es mayor si la densidad de probabilidad se reparte para más valores de la variable (mayor aplastamiento). = La probabilidad de que la variable X tome valores entre a y b es el área bajo la curva de la función de densidad comprendida entre a y b. La función de distribución de la distribución Normal estándar N(0, 1) está tabulada. Si la v.a. para la que queremos calcular probabilidades es N(p, 0), la transfomaremos mediante tipificación para convertirla en una N(0, 1), es decir, X-p SX>=oNMuo) >2Z= 5 > N(0.1) a de esta forma toda la familia de distribuciones se traslada a una, la N(0, 1). Cálculo de probabilidades en una V(0, 1) Supongamos que Z es una v.a. N(0, 1) = Para cada valor 2 de Z, la tabla proporciona F(z) = P[Z < 2] = Denotamos por za al cuantil de orden a de la distribución, es decir, Flza) =P(Z < za] =a = Dado que el área total bajo la curva de la función de densidad es 1, P[Z> 2] =1-P[Z < 2] = Recordemos que para variables continuas P[Z< 2] =P[Z < 2] = Teniendo en cuenta todo lo anterior, para calcular la probabilidad de que la variable tome valores entre dos dados: Pla <Z <b] =P[Z < b] — P[Z < a] Ejemplo 2. Sea Z una v.a. normal estándar, hallar: 1. P[Z<2,17] 2. P[Z > -1,82] 3. P[1,12<Z<2,74] 4. P[Z<1,12] 5. P[08<Z<12] Ejemplo 3. La glucemia en ayunas de un diabético puede suponerse distribui- da de forma aproximadamente normal con media 106m8g/100m1 y desviación típica 8mg/10ml. 1. Calcular la probabilidad de que la glucemia en ayunas sea menor de 110mg/100ml. 2. Calcular la probabilidad de que en una muestra de 20 diabéticos haya 16 individuos con glucemia inferior a 110mg/100m1. 3. ¿Qué porcentaje de diabéticos tendrá niveles entre 90 y 120mg/100m1.? 4. Encontrar un valor de glucemia (za), tal que el 25% de los diabéticos tenga una glucemia en ayunas por debajo de él. 4. Otras distribuciones Existen otras distribuciones continuas asociadas a la distribución Normal. y Distribución x? v/ Distribución t-student v/ Distribución F-Snedecor Distribución x? Si X¡, X>,..., X, son v.a. Normales, independientes, X, > N(0,1), Wi= 1,...,n, entonces la v.a. AS Xi Mo tiene distribución x? con n grados de libertad. La función de densidad de la distribución x? con n grados de libertad se expresa como: 1 21,2 (=> 12, 2>0 7
