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¡Descarga Exámenes de los últimos años y más Exámenes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity! Grado en Física ANÁLISIS MATEMÁTICO I (CURSO 2010-2011) (Grupo A, 1er Parcial) 12-Enero-2011 1. Enunciar los Teoremas de Bolzano y de Rolle. Determinar el número de ceros de la función f : R→ R definida por f (x) = 2x−1− x2 y probar que todos ellos están en el intervalo [0,5]. 2. Considérese la función f : R+→ R definida por f (x) = logx x . (i) Estudiar continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y absolutos, comportamiento en 0 y en +∞, gráfica, e imagen. (ii) Probar que si 0 < a < b≤ e entonces ab < ba, mientras que si e≤ a < b entonces ba < ab. 3. Enunciar el Teorema de Weierstrass. De entre todos los rectángulos cuya diagonal tiene longitud d > 0 determinar el de área máxima. ¿Cuanto vale el área de dicho rectángulo? 4. Calcula los siguientes límites: (a) lı́m n log2(n) (n+1) log2(n+1) ; (b) lı́m x→0 sen3 x x− arc tgx ; (c) lı́m x→0 ( cos2 x+ x2 2 ) 1 x2 . 5. Calcula las siguientes integrales: (a) ∫ x2−5x+9 x2−5x+6 dx ; (b) ∫ ( logx x )2 dx . 1 SOLUCIONES 1. Es claro que f es una función de clase C∞ en R, ya que es suma de la función exponencial de base 2 con una función polinómica. Notemos que f ′(x) = 2x log2−2x ; f ′′(x) = 2x(log2)2−2 ; f ′′′(x) = 2x(log2)3 > 0 . Como consecuencia del Teorema de Rolle, dado que f ′′′ no tiene ceros, se sigue que f ′′ a lo más tiene 1 cero, y por tanto f ′ a lo más tiene 2 ceros, y finalmente f a lo más tiene 3 ceros. Puesto que f (0) = 0, f (1) = 0, f (2) =−1 < 0, f (3) =−2 < 0, f (4) =−1 < 0, f (5) = 6 > 0, se sigue que x = 0 y x = 1 son ceros de f , y además, por el Teorema de Bolzano, f tiene un cero en el intervalo ]4,5[. Luego f tiene 3 ceros en R, y dichos ceros están en el intervalo [0,5]. 2. (i) La función f es de clase C∞ en R+ ya que lo son las funciones logx y 1 x . Además, por las reglas de derivación, sabemos que f ′(x) = 1− logx x2 , ∀x ∈ R+. En consecuencia, f ′(x) = 0 ⇔ 1− logx = 0 ⇔ logx = 1 ⇔ x = e. El estudio de los signos de f ′ pone de relieve que x 0 < x < e x = e e < x f ′(x) + 0 − f (x) Estrict. Creciente Máximo Absoluto Estrict. Decreciente Luego f tiene un máximo absoluto en el punto x = e. Puesto que f (e) = 1e , lı́mx→0 f (x) =−∞, y lı́mx→+∞ f (x) = 0, se sigue que la gráfica de f viene dada por 2 En consecuencia, lı́m x→0 sen3 x x− arc tgx = 3. (c) Nótese que lı́m x→0 ( cos2 x+ x2 2 ) 1 x2 es del tipo 1∞. Por tanto, usando la regla del número e, tenemos que estudiar lı́m x→0 1 x2 ( cos2 x+ x2 2 −1 ) . Aplicando la regla de L’Hopital 2 veces, vemos que lı́m x→0 1 x2 ( cos2 x+ x2 2 −1 ) = lı́m x→0 cos2 x+ x 2 2 −1 x2 = lı́m x→0 −2cosx senx+ x 2x = lı́m x→0 2sen2 x − 2cos2 x+1 2 =− 1 2 . En consecuencia, lı́m x→0 ( cos2 x+ x2 2 ) 1 x2 = e− 1 2 = 1√ e . 5. (a) Dividiendo obtenemos que x2−5x+9 x2−5x+6 = 1+ 3 x2−5x+6 y teniendo en cuenta que x2− 5x+ 6 = (x− 2)(x− 3), descomponiendo en fracciones simples obtenemos que 3 x2−5x+6 =− 3 x−2 + 3 x−3 . En consecuencia,∫ x2−5x+9 x2−5x+6 dx = ∫ ( 1− 3 x−2 + 3 x−3 ) dx = ∫ dx−3 ∫ 1 x−2 dx+3 ∫ 1 x−3 dx = x−3log |x−2|+3log |x−3|= x+3log ∣∣∣∣x−3x−2 ∣∣∣∣ . (b) 5 Integrando por partes, llamando u = log2 x y dv = 1 x2 dx, por lo que du = 2logx x dx y v =−1 x , obtenemos que ∫ ( logx x )2 dx = ∫ log2 x x2 dx =−1 x log2 x+2 ∫ logx x2 dx. De nuevo, integrando por partes, llamando u = logx y dv = 1 x2 dx, por lo que du = 1 x dx y v =−1 x , obtenemos que ∫ logx x2 dx =−1 x logx+ ∫ 1 x2 dx =−1 x logx− 1 x . En consecuencia,∫ ( logx x )2 dx =−1 x log2 x+2 ( −1 x logx− 1 x ) =−1 x ( log2 x+2logx+2 ) . 6 Grado en Física ANÁLISIS MATEMÁTICO I (CURSO 2011-2012) (Grupo A, 1er Parcial) 15-Diciembre-2011 1. Calcula los siguientes límites: (a) lı́m log(5n3 +2n) log(2n4−n2 +1) ; (b) lı́m x→0 exsenx − x(1+ x) x3 . (2 Puntos) 2. Enunciar los Teoremas de Bolzano y de Rolle. Determinar el número de ceros de la función f : R+→ R definida por f (x) = x− logx−2 y localizarlos en intervalos disjuntos. (1’5 Puntos) 3. Enunciar el Teorema del valor medio. Demostrar que para cualesquiera x,y ∈ R se verifica que |cosx − cosy| ≤ |x− y| . (1’5 Puntos) 4. Considérese la función f : R+→ R definida por f (x) = x 1 x = e logx x . (i) Estudiar continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y absolutos, comportamiento en 0 y en +∞, gráfica, e imagen. (ii) Determinar el máx({ n √ n : n ∈ N}). (3 Puntos) 5. Enunciar el Teorema de Weierstrass. De entre todos los rectángulos cuya diagonal tiene longitud d > 0 determinar el de perímetro máximo. ¿Cuanto vale el perímetro de dicho rectángulo? (2 Puntos) 7 x 0 < x < e x = e e < x f ′(x) + 0 − f (x) Estrict. Creciente Máximo Absoluto Estrict. Decreciente Luego f tiene un máximo absoluto en el punto x = e. Puesto que lı́m x→0 g(x) =−∞, g(e) = 1 e , y lı́m x→+∞ g(x) = 0, y por tanto lı́m x→0 f (x) = 0, f (e) = e 1 e , y lı́m x→+∞ f (x) = 1, se sigue que la gráfica de f viene dada por y por tanto f (R+) =]0,e 1e [. (ii) Puesto que f es estrictamente creciente en el intervalo ]0,e] y estrictamente decreciente en el intervalo [e,+∞[, y se tiene que 1 < 2 < e < 3 < 4 < 5 < .... se sigue que f (1)< f (2)< f (e)> f (3)> f (4)> f (5)> .... y por tanto máx({ f (n) : n ∈ N}) = máx({ f (2), f (3)}). Nótese que f (2) = √ 2 = 4 √ 4 = f (4)< f (3). 10 En conclusión, máx({ n √ n : n ∈ N}= 3 √ 3. 5. Si llamamos x a la longitud de la base del rectángulo e y a la longitud de la altura, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que x2 + y2 = d2, y por tanto y = √ d2− x2. En consecuencia, el perímetro vendrá dado por la función f : [0,d]→ R definida por f (x) = 2(x+ √ d2− x2). Nótese que f es continua en [0,d] y derivable en [0,d[, con derivada f ′(x) = 2 ( 1+ −2x 2 √ d2− x2 ) = 2( √ d2− x2− x)√ d2− x2 . De donde se sigue que f ′(x) = 0 ⇔ √ d2− x2 = x ⇔ d2−2x2 = 0 ⇔ x = d√ 2 . Puesto que f (0) = f (d) = 2d y f ( d√ 2 ) = 2 √ 2d se sigue del Teorema de Weierstrass y de la “condición necesaria de extremo relativo" que f alcanza su máximo absoluto en el punto d√ 2 . Resumiendo, el rectángulo que tiene perímetro máximo de entre todos los de diagonal con longitud d es el que tiene base con longitud d√ 2 , y por tanto también tiene altura con longitud d√ 2 . Es decir, es el cuadrado de lado d√ 2 . Su perímetro es 2 √ 2d. De otra manera Considérense los rectángulos posicionados de manera que (0,0) es un vértice y la base descansa en el semieje positivo de abscisas, y llamemos θ al ángulo que forma la diagonal (que arranca en el punto (0,0)) con el semieje positivo de abscisas. Es claro que d cosθ es la longitud de la base y d senθ es la longitud de la altura. En consecuencia, el perímetro vendrá dado por la función por la función f : [0, π2 ]→R definida por f (θ) = 2d(senθ + cosθ). Nótese que f es derivable en [0, π2 ], con derivada f ′(θ) = 2d(cosθ− senθ). Luego f ′(θ) = 0 ⇔ cosθ = senθ ⇔ θ = π 4 . Puesto que f (0) = f (π2 ) = 2d y f ( π 4 ) = 2 √ 2d se sigue del Teorema de Weierstrass y de la “condición necesaria de extremo relativo" que f alcanza su máximo absoluto en el punto π4 . Resumiendo, el rectángulo que tiene perímetro máximo de entre todos los de diagonal con longitud d es el que tiene base con longitud d√ 2 , y por tanto también tiene altura con longitud d√ 2 . Es decir, es el cuadrado de lado d√ 2 . Su perímetro es 2 √ 2d. 11 Grado en Física ANÁLISIS MATEMÁTICO I (CURSO 2011-2012) (Grupo A, 2o Parcial) 25-Enero-2012 1. Calcula los siguientes integrales: (a) ∫ dx ex +1 ; (b) ∫ x arctgx dx . (2 Puntos) 2. Enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo. Demostrar que la función H : R+→ R definida por H(x) = ∫ logx 0 (1+ et)2 dt es derivable y calcular su función derivada. Como consecuencia, calcula lı́m x→0 H(x) logx y lı́m x→+∞ H(x) x2 . (2 Puntos) 3. Enunciar la Regla de Barrow. Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f ,g : [−1,2]→ R definidas por f (x) = x3− x y g(x) = x2 + x . (2 Puntos) 4. Enunciar la condición necesaria de convergencia de una serie de números reales. Estudiar la conver- gencia de las siguientes series: (a) ∑ n≥1 logn ; (b) ∑ n≥1 √ n3 +1 n2 ; (c) ∑ n≥2 1 n(logn)2 . (2 Puntos) 5. Enunciar el Teorema de convergencia de una serie de potencias. Determinar el radio de convergencia, y estudiar el comportamiento en los extremos del intervalo de con- vergencia, de la serie de potencias ∑ n≥1 (n+1)n nn+1 xn. (2 Puntos) 12 SOLUCIONES 1. (i) La función f es de clase C∞ en R ya que es producto de las funciones exponencial ex y de la función polinómica x−1, y ambas son de clase C∞. Además, por las reglas de derivación, sabemos que f ′(x) = ex(x−1)+ ex = exx, ∀x ∈ R. Teniendo en cuenta que la exponencial siempre toma valores positivos se sigue que f ′(x) = 0 ⇔ exx = 0 ⇔ x = 0, y el estudio del signo de f ′ pone de relieve que x x < 0 x = 0 0 < x f ′(x) − 0 + f (x) Estrict. Decreciente Mínimo Absoluto Estrict. Creciente Luego f tiene un mínimo absoluto en el punto x = 0. Además, por las reglas de derivación, sabemos que f ′′(x) = exx+ ex = ex(x+1), ∀x ∈ R. De nuevo teniendo en cuenta que la exponencial siempre toma valores positivos se tiene que f ′′(x) = 0 ⇔ ex(x+1) = 0 ⇔ x =−1, y el estudio del signo de f ′′ pone de relieve que x x <−1 x =−1 −1 < x f ′′(x) − 0 + f (x) Estrict. Cóncava Punto de Inflexión Estrict. Convexa Luego f tiene un punto de inflexión en el punto x =−1. Puesto que, aplicando la regla de L’Hopital, lı́m x→−∞ f (x) = lı́m x→−∞ x−1 1 ex = lı́m x→−∞ 1 − 1ex = lı́m x→−∞ (−ex) = 0, y además f (0) =−1, f (1) = 0, y lı́m x→+∞ f (x) = +∞, se sigue que la gráfica de f viene dada por 15 y por tanto f (R) = [−1,+∞[. (ii) Dado m ∈R, interpretando el número de soluciones de la ecuación ex(x−1) = m, como el número de puntos intersección de las variedades determinadas por: la curva y = f (x) (esto es, la gráfica de la función f ) y la recta horizontal y = m, se sigue que m m <−1 m =−1 −1 < m < 0 0≤ m Número de soluciones 0 1 2 1 2. (i) La sucesión es del tipo n√an, donde an = log(n2 +1). Teniendo en cuenta el Criterio de la raíz para el límite de sucesiones, estudiaremos el límite de la sucesión an+1 an = log((n+1)2 +1) log(n2 +1) = log(n2 +2n+2) log(n2 +1) = log(n2(1+ 2n + 2 n2 )) log(n2(1+ 1n2 )) = log(n2)+ log(1+ 2n + 2 n2 ) log(n2)+ log(1+ 1n2 ) = 2log(n)+ log(1+ 2n + 2 n2 ) 2log(n)+ log(1+ 1n2 ) = 2+ log(1+ 2n+ 2 n2 ) log(n) 2+ log(1+ 1 n2 ) log(n) . Puesto que log(1+ 2 n + 2 n2 )→ log1 = 0, log(1+ 1 n2 )→ log1 = 0, y log(n)→+∞, se sigue que log(1+ 2n + 2 n2 ) log(n) → 0 y log(1+ 1n2 ) log(n) → 0, y en consecuencia an+1 an → 1. Finalmente, por el Criterio de la raíz para límites de sucesiones, podemos concluir que n √ log(n2 +1)→ 1. (ii) Ambos límites laterales responden a una indeterminación del tipo 1∞. En consecuencia, por el Criterio del número e, deberemos estudiar los límites laterales en 0 de la función tgx x2 . Como quiera que lı́m x→0 tgx x = d dx tgx ] x=0 = 1+ tg2 x ] x=0 = 1 , 16 (esto es, las funciones tgx y x son asintóticamente equivalentes en x = 0) se tiene que lı́m x→0− tgx x2 = lı́m x→0− x x2 = lı́m x→0− 1 x =−∞ y lı́m x→0+ tgx x2 = lı́m x→0+ x x2 = lı́m x→0+ 1 x =+∞, y por tanto lı́m x→0− f (x) = 0 y lı́m x→0+ f (x) = +∞. En conclusión, f no tiene límite en 0 y presenta una discontinuidad esencial. (iii) El límite responde a una indeterminación del tipo 00 ya que lı́m x→+∞ arc tgx = π 2 y lı́m x→+∞ logx =+∞, y por tanto lı́m x→+∞ ( π 2 − arc tgx) = 0 y lı́m x→+∞ 1 logx = 0. Escribiendo ( π 2 − arc tgx) 1 logx = e log( π2−arc tgx) logx , vemos que hemos de determinar el comportamiento en +∞ de la función f (x) = log(π2 − arc tgx) logx , que presenta una indeterminación del tipo ∞ ∞ . Aplicando la regla de L’Hopital vemos que lı́m x→+∞ f (x) = lı́m x→+∞ 1 π 2−arc tgx −1 1+x2 1 x = lı́m x→+∞ −x 1+x2 π 2 − arc tgx . El nuevo límite ahora responde a una indeterminación del tipo 00 , por lo que volviendo a aplicar la regla de L’Hopital obtenemos que lı́m x→+∞ −x 1+x2 π 2 − arc tgx = lı́m x→+∞ −(1+x2)+2x2 (1+x2)2 −1 1+x2 = lı́m x→+∞ 1− x2 1+ x2 =−1. Alternativamente, podíamos haber caído en la cuenta de que lı́m x→+∞ −x 1+x2 −1 x = lı́m x→+∞ x2 1+ x2 = 1, (esto es, las funciones −x1+x2 y −1 x son asintóticamente equivalentes en +∞) y por tanto lı́m x→+∞ −x 1+x2 π 2 − arc tgx = lı́m x→+∞ −1 x π 2 − arc tgx = lı́m x→+∞ 1 x2 −1 1+x2 = lı́m x→+∞ −(1+ x2) x2 =−1. En conclusión lı́m x→+∞ f (x) =−1, y por tanto 17 4. (ii) Considérese la función h : R+→ R definida por h(x) = α(x−1)− xα +1. Puesto que h es la diferencia de una función polinómica con la función potencial de exponente α, sabemos que h es derivable y h′(x) = α−αxα−1 = α(1− xα−1), ∀x ∈ R+. Luego h′(x) = 0 ⇔ xα−1 = 1 ⇔ x = 1. Además, el estudio del signo de la derivada de h pone de relieve que x 0 < x < 1 x = 1 1 < x h′(x) − 0 + h(x) Estrict. Decreciente Mínimo Absoluto Estrict. Creciente Luego h tiene un mínimo absoluto en el punto x = 0. Puesto que h(1) = 0, se sigue que h es positiva y únicamente toma el valor 0 en x = 1, de donde se sigue el resultado. Por cierto que lı́m x→0 h(x) = 1−α, y lı́m x→+∞ h(x) = lı́m x→+∞ x ( α x−1 x − xα−1 + 1 x ) =+∞, y por tanto la gráfica de h viene dada por De otra manera Es claro que en x = 1 se da la igualdad. Veamos que para x ∈ R+ \{1} se da la desigualdad estricta. Consideremos la función f : R+→ R definida por f (x) = xα. 20 La función f es derivable en R+ y f ′(x) = αxα−1. Dado x ∈ R+ \ {1}, estamos en condiciones (más que sobradas) de aplicar el Teorema del Valor Medio a la función f en el intervalo cerrado determinado por x y 1, por lo que existe ξ en el intervalo abierto determinado por x y 1 tal que f (x)− f (1) = (x−1) f ′(ξ), esto es xα−1 = (x−1)αξα−1. (1) Nótese que: Si x< 1, entonces ξ< 1, y por tanto ξα−1 > 1, de donde, teniendo en cuenta que x−1< 0, concluimos que (x−1)αξα−1 < (x−1)α. Si x> 1, entonces ξ> 1, y por tanto ξα−1 < 1, de donde, teniendo en cuenta que x−1> 0, concluimos que (x−1)αξα−1 < (x−1)α. Por tanto, en cualquier caso, tenemos que (x−1)αξα−1 < (x−1)α, y se sigue de (1) que xα−1 < (x−1)α. (iii) Dados p,q ∈]1,+∞[ tales que 1p + 1 q = 1 y fijados a,b ∈R +, tomando α = 1p y x = ap bq en el apartado (ii) obtenemos que ( ap bq ) 1 p −1≤ 1 p ( ap bq −1 ) , o lo que es lo mismo ab− q p ≤ 1 p ap bq +1− 1 p . Multiplicando por bq obtenemos que abq− q p ≤ 1 p ap +(1− 1 p )bq. Teniendo en cuenta que 1p + 1 q = 1 implica que 1− 1 p = 1 q , y por tanto que q− q p = 1, concluimos que ab≤ 1 p ap + 1 q bq. 21 Grado en Física ANÁLISIS MATEMÁTICO I (CURSO 2012-2013) (Grupo A, 2er Parcial) 24-Enero-2013 1. Calcular ∫ 1 x sen3 (Lx2)dx. (2 Puntos) 2. Calcular lı́m x→0+ ∫ x2 0 sen √ t dt x3 . (2 Puntos) 3. Estudiar la convergencia de las series (i) ∑ n≥2 n4 L2+L3+ · · ·+Ln . (ii) ∑ n≥1 (n!)2 x2n (2n)! (x ∈ R). (3 Puntos) 4. (i) Enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo. (ii) Estudiar la serie de potencias ∑ n≥1 √ n n+1 (x−1)n, determinando el radio de convergencia, el intervalo de convergencia, y el comportamiento en los extremos de dicho intervalo. (3 Puntos) 22 SOLUCIONES 1. (a) Las soluciones de la ecuación ex−3x2 = 0 son los ceros de la función f : R→ R definida por f (x) = ex−3x2. Puesto que f (−1) = e−1−3 < 0, f (0) = 1 > 0, f (3) = e3−33 < 0, y lı́m x→+∞ f (x) = +∞, por el teorema de Rolle, f tiene al menos tres ceros: Uno de ellos en el intervalo ]− 1,0[, otro en el intervalo ]0,1[, y otro en el intervalo ]1,+∞[. (b) Puesto que f (x) = ex−3x2, f ′(x) = ex−6x, f ′′(x) = ex−6, y f ′′′(x) = ex > 0, se sigue del teorema de Rolle (aplicándolo reiteradamente) que f ′′ tiene a lo más un cero, f ′ tiene a lo más dos ceros, y finalmente f tiene a lo más tres ceros. 2. Sean A = (a,0) y B = (0,b) los puntos de corte con los ejes de una recta que pasa por el punto (3,5). Puesto que el haz de rectas que pasan por (3,5) tiene de ecuación y = m(x− 3)+ 5, se sigue que a y b están ligados por las ecuaciones 0 = m(a−3)+5 y b = −3m+5, de donde se deduce que b = 5aa−3 . Ya que a y b representan las longitudes de la base y de la altura del triángulo que determina la recta con los ejes coordenados, se sigue que 3< a<+∞ y que la función área a minimizar es la función f :]3,+∞[→R dada por f (a) = 5a2 2(a−3) . La función f es de clase C∞ en ]3,+∞[ ya que es una función racional que no se anula en ]3,+∞[. Además, por las reglas de derivación, sabemos que f ′(x) = 20a(a−3)−10a2 4(a−3)2 = 5a(a−6) 2(a−3)2 , ∀a ∈]3,+∞[. En consecuencia, f ′(a) = 0 ⇔ a = 6. El estudio de los signos de f ′ pone de relieve que a 3 < a < 6 a = 6 6 < a f ′(a) − 0 + f (a) Estrict. Decreciente Mínimo Absoluto Estrict. Creciente Luego f tiene un mínimo absoluto en el punto a = 6. Nótese que para a = 6 se tiene que b = 10, y en consecuencia la recta pedida es y =− 53 x+10. 3. (a) La sucesión responde a una interminación del tipo ∞ ∞ . Consideremos las sucesiones an := 13 +33 +53 + · · ·+(2n−1)3 y bn := n4. 25 Por el Criterio de Stolz tenemos que lı́mxn = lı́m an+1−an bn+1−bn = lı́m (2n+1)3 (n+1)4−n4 = lı́m 8n3 + · · · 4n3 + · · · = 8 4 = 2. (b) Por el criterio de la raíz. Llamando an = (3n)!(5n)3n , vemos que an+1 an = (3(n+1))!(5n)3n (3n)!(5(n+1))3(n+1) = (3n+3)!(5n)3n (3n)!(5n+5)3n+3 = (3n+1)(3n+2)(3n+3) (5n+5)3 ( 5n 5n+5 )3n . Nótese que (3n+1)(3n+2)(3n+3) (5n+5)3 = 33n3 + · · · 53n3 + · · · −→ 3 3 53 . Nótese también que ( 5n 5n+5 )3n presenta una indeterminación del tipo 1∞, y que 3n ( 5n 5n+5 −1 ) = −15n 5n+5 −→−3, y por el criterio del número e tenemos que( 5n 5n+5 )3n −→ e−3. En consecuencia, an+1 an −→ 3 3 53 e−3 = ( 3 5e )3 . Finalmente, por el criterio de la raíz, lı́myn = ( 3 5e )3 . 4. (ii) 5. (ii) 26 Grado en Física ANÁLISIS MATEMÁTICO I (CURSO 2013-2014) (Grupo A, 1er Control) 13-Diciembre-2013 1. Calcular el límite de las siguientes sucesiones (a) 1+ 1√ 2 + · · ·+ 1√n√ n (b) (√ n−3√ n+1 )√n . (2 Puntos) 2. (i) Enunciar la condición necesaria de convergencia de una serie de números reales. (ii) Estudiar la convergencia de la serie ∑ n≥1 nsen 1 n . (iii) Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de la serie ∑ n≥2 (−1)n n2−1 . (2 Puntos) 3. (i) Enunciar el Teorema de los ceros de Bolzano. (ii) Sea f : [0,1]→ R una función continua tal que f (0) = f (1). Probar que existe c ∈ [0, 12 ] tal que f (c) = f (c+ 1 2 ). (2 Puntos) 4. (i) Enunciar el Teorema del Valor Medio. (ii) Dado p con 0 < p < 1, demostrar que (1+ x)p < 1+ px para todo x ∈ R+. (2 Puntos) 5. Considérese la función f : R+→ R definida por f (x) = logx x . (i) Estudiar continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y absolutos, comportamiento en 0 y en +∞, gráfica, e imagen. (ii) ¿Hay algún a ∈ R+ tal que x≤ a xa , para todo x ∈ R+? En tal caso, ¿cual es dicho número? (2 Puntos) 27 4. (ii) Considérese la función f : R+0 → R definida por f (t) = (1+ t)p. La función f es composición de las funciones derivables t 7→ 1+ t (polinómica) y t 7→ t p (potencial), luego, por la regla de la cadena, f es derivable, y además f ′(t) = p(1+ t)p−1 para todo t ∈ R+0 . Dado x ∈ R+, estamos en condiciones (más que sobradas) de aplicar el Teorema del Valor Medio a la función f|[0,x], por lo que existe ξ ∈]0,x[ tal que f (x)− f (0) = (x−0) f ′(ξ), esto es (1+ x)p−1 = xp(1+ξ)p−1. (2) Como quiera que 1 + ξ > 1, y 1− p < 0, del decrecimiento estricto de las funciones potenciales de exponente negativo se sigue que (1+ξ)p−1 < 11−p = 1, y por tanto, de (2), se deduce que (1+ x)p−1 < xp, o lo que es lo mismo (1+ x)p < 1+ px. Finalmente, nótese que, para x = 0, se da la igualdad. Otra manera de dar la solución Considérese la función h : R+0 → R definida por h(x) = 1+ px− (1+ x)p. La función h es suma y composición de funciones derivables, luego es derivable, y además las reglas de derivación dan que h′(x) = p− p(1+ x)p−1 = p [ 1− (1+ x)p−1 ] para todo x ∈ R+0 . Como quiera que, para todo x ∈R+, se tiene que 1+x > 1, y p−1 < 0, del decrecimiento estricto de las funciones potenciales de exponente negativo se sigue que (1+ x)p−1 < 1p−1 = 1, luego 1− (1+ x)p−1 > 0, por tanto h′(x) > 0, y en consecuencia h es estrictamente creciente. Ya que h(0) = 0, concluimos que h(x)> 0 para todo x ∈ R+, lo que concluye la demostración. 5. (i) La función f es de clase C∞ en R+ ya que lo son las funciones logx y 1 x . Además, por las reglas de derivación, sabemos que f ′(x) = 1− logx x2 , ∀x ∈ R+. 30 En consecuencia, f ′(x) = 0 ⇔ 1− logx = 0 ⇔ logx = 1 ⇔ x = e. El estudio de los signos de f ′ pone de relieve que x 0 < x < e x = e e < x f ′(x) + 0 − f (x) Estrict. Creciente Máximo Absoluto Estrict. Decreciente Luego f tiene un máximo absoluto en el punto x = e. Puesto que lı́m x→0 f (x) =−∞, f (e) = 1e , y lı́mx→+∞ f (x) = 0, se sigue que la gráfica de f viene dada por y por tanto f (R+) =]−∞, 1e ]. (ii) Nótese que para x ∈ R+ se tiene que x≤ a x a ⇔ logx≤ x a loga ⇔ logx x ≤ loga a ⇔ f (x)≤ f (a). Luego, en vista del apartado (i), la respuesta es que existe un único tal a, y además a = e. 31 Grado en Física ANÁLISIS MATEMÁTICO I (CURSO 2013-2014) (Grupo A, 2o Control) 24-Enero-2014 1. Un rectángulo tiene su base sobre el eje OX, su esquina inferior izquierda es (0,0) y su esquina superior derecha está en la gráfica de la función f :]1,+∞[−→ R definida por f (x) := 1 x−1 . Calcular las dimensiones del rectángulo de mínimo perímetro que se puede conseguir de esta forma. (2 Puntos) 2. Estudiar la serie de potencias ∑ n≥1 √ n n+1 xn, determinando el radio de convergencia, el intervalo de convergencia, y el comportamiento en los extremos de dicho intervalo. (2 Puntos) 3. Sea I el intervalo ]α,β[, donde −∞≤ α < β≤+∞, y sea f : I→ R una función. (i) Decir cuando f es localmente integrable en I. (ii) Decir cuando f es impropiamente integrable en I. (iii) Dada la función f : R+ → R definida por f (x) := 1x , discutir la integrabilidad impropia de la función f en los intervalos ]0,1[ y ]1,+∞[. (2 Puntos) 4. (i) Enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo. (ii) Se considera la función h : R+→ R definida por h(x) := ∫ log(1+x) 1 et t dt. Justificar que h es derivable, y calcular su derivada. (2 Puntos) 5. Calcular una primitiva de la función f : R\{1}→ R definida por f (x) = 1 x3−1 . (2 Puntos) 32 Grado en Física ANÁLISIS MATEMÁTICO I (CURSO 2013-2014) (Grupo A, Examen Final) 10-Febrero-2014 1. (i) Calcúlese el número de soluciones de la ecuación 9 log(x) = x3 . (ii) Demuéstrese que dados tres números reales a,x,y se tiene que |sen(ax)− sen(ay)| ≤ |a| |x− y|. (2 Puntos) 2. Considérese la función f : R−→ R definida por f (x) = 3x4−4x3−12x2. Calcúlense: (i) sus extremos relativos y absolutos, (ii) La imagen de f . (iii) Calcular el número de soluciones de la ecuación f (x) = m según el valor del número real m. (2 Puntos) 3. Se consideran los segmentos horizontales que están situados en la región acotada del plano que está encerrada entre las dos curvas y = x2 e y = √ 8x y que tienen un extremo en cada curva. Determine, de entre todos ellos, aquel que tiene longitud máxima. (2 Puntos) 4. (i) Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series: a) ∑ n≥1 ((3n)!)2 46n(n!)6 b) ∑ n≥1 (−1)n+1 1 n ( 1+ 1 n )n . (ii) Calcula los siguientes límites: a) lı́m n→0 (senx+ cosx) 1 x b) lı́m n→+∞ ( xsen 1 x )x2 . (2 Puntos) 5. Sea f : [0,π] −→ R la función definida por f (x) = 12+cosx . Calcúlese el área comprendida entre la gráfica de la función f y el segmento que une los puntos (0,0) y (π,1/3). (2 Puntos) 35 Examen de Análisis Matemático I – Curso 1o - Grado en Física 1. Prueba, usando los teoremas de Bolzano y de Rolle, que la ecuación 3x x3 6 5 D 0 tiene exactamente cuatro soluciones reales. 2. Calcula los límites siguientes. a/ lKım x!0 log ex 2 1 x2 ! x sen x b/ lKım x!0  arc tg x x 1=x2 c/ lKım x!0 arc sen x sen x x.1 cos x/ d/ lKımx!0  3 sen x 3 x cos x x3 1=x2 3. Calcula las dimensiones (radio y altura) de una lata cilíndrica de un litro de capacidad cuyo costo de producción sea mínimo. Se supone que no se desperdicia aluminio al cortar los lados de la lata, pero las tapas de radio r se cortan de cuadrados de lado 2r por lo que se produce una pérdida de metal. 4. Determina el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados, inscrito en la elipse de ecuación x2 a2 C y 2 b2 D 1, y que tenga área máxima. 5. Estudia el número de soluciones reales de la ecuación log x D x2 4x. 6. Prueba que para todo x > 1 se verifica que: x x C 1 6 log.1 C x/: ¿Cuándo se da la igualdad? 7. Calcula los límites siguientes. a/ lKım x!0 6 log  sen x x  C x2 x4 b/ lKım x!0 .1 cos x/ arc tg x ex2 1
sen x 8. Determina un punto .u; v/ (u > 0; v > 0) de la elipse de ecuación x2 8 C y 2 6 D 1 tal que la tangente a la elipse en dicho punto determine con los ejes un triángulo de área mínima. 9. Justifica que la ecuación sen x C x2 D cos x tiene exactamente dos soluciones reales. 10. Dado ˛ 20; 1Œ demuestra que x˛ 6 ˛x C 1 ˛ para todo x > 0. ¿Cuándo se da la igualdad?. 11. Calcula los límites siguientes. a/ lKım x!0 2 log  ex 1 x  x x b/ lKım x!0  2 2 cos x x2 1=.1cos x/ Ejercicios de Análisis Matemático 2 12. Calcula los límites siguientes. a/ lKım x!0 log  sen x x  .log.1 C x//2 b/ lKımx!0  tg x x 1=x2 c/ lKım x!0 arc tg x sen x x.1 cos x/ d/ lKımx!0 arc tg.arc sen x2/ .e2x 1/ log.1 C 2x/ e/ lKım x!0  3 sen x 3 x cos x x3 1=x f / lKım x!C1  x sen 1 x x2 13. En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta, y a 500 metros río abajo, se está construyendo una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta a 9 euros cada metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta a 15 euros cada metro, ¿cómo debe hacerse el tendido entre la planta eléctrica y la fábrica para que su coste sea mínimo?. 14. La figura representa un espejo rectangular en el que se ha partido una esquina. Las dimensiones del espejo son ABD 3, AC D5 y las de la esquina rota son las que se indican en la figura donde se supone que a es un valor conocido. Se pide calcular un punto P sobre la línea de corte de forma que el espejo de vértices A; X; P; Y tenga área máxima. ¿Para qué valor de a se verifica que el espejo de mayor área es un cuadrado? A X B 2 a PY C 15. Estudia la convergencia de las series: a/ X n>1 n! .2n/! ; b/ X n>1 n3 en 16. Calcula el límite siguiente lKım x!0 Z 2x x sen.sen t/ dt 3x2 x3 17. a) Estudia el número de soluciones de la ecuación 4x 15 log x D 0 en el intervalo RC. Explica con detalle tu razonamiento. b) Calcula la siguiente integral: 1w 0 x3p 1 x2 dx 18. Se construye un rectángulo con base en el eje de abscisas y vertices opuestos en la gráfica de la función f .x/ D ex2 . Calcula los puntos de dicha gráfica para que el rectángulo así construido tenga área máxima. 19. Se desea construir un tanque cilíndrico sin tapa cuya superficie sea K metros cuadrados. ¿Qué relación debe existir entre el radio y la altura para que el volumen sea máximo? ¿Para qué valor de K el radio es 1 metro? Calcula el volumen máximo para K D 12. Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Curso 1o - Grado en Física Examen de Análisis Matemático I – Soluciones Ejercicio 1. Sea f W RC ! R la función definida por f .x/ D x log.x/ 2 para todo x > 0. a) Prueba que f alcanza un mínimo absoluto en RC. b) Determina el conjunto imagen f .RC/ de dicha función. c) Determina el número de soluciones de la ecuación f .x/ D 0 en RC y localiza dichas soluciones en intervalos disjuntos. Solución. a) Tenemos que f 0.x/ D 1 1 x D x 1 x se anula solamente en x D 1. Si 0 < x < 1 es f 0.x/ < 0, por lo que f es estrictamente decreciente en 0; 1. Luego 0 < x < 1 ÷f .x/ > f .1/. Si 1 < x es f 0.x/ > 0, por lo que f es estrictamente creciente en Œ1; C1Œ. Luego 1 < x ÷f .1/ < f .x/. Hemos probado así que para todo x > 0 se verifica f .1/ 6 f .x/. Por tanto f alcanza un mínimo absoluto en x D 1. b) f es una función continua definida en un intervalo, por el teorema del valor intermedio, la imagen de f , J D f .RC/, es un intervalo. Por lo visto en el punto anterior, J tiene mínimo que es f .1/ D 1. Es claro que J no está mayorado porque lKım x!0 f .x/ D C1. Luego J D Œ1; C1Œ. c) Como f .e2/ D e2 > 0, f .1/ D 1 < 0 y f .e2/ D e2 4 > 0, el teorema de Bolzano nos dice que f tiene al menos un cero en cada intervalo  e2; 1Œ, 1; e2Œ. Como, por lo visto en el punto a), f es inyectiva en 0; 1 y en Œ1; C1Œ, concluimos que f tiene exactamente dos ceros. También puede razonarse usando el teorema de Rolle: como f 0 tiene un único cero, f no puede tener más de dos ceros. © Ejercicio 2. Se desea construir un tanque cilíndrico sin tapa cuya superficie sea K metros cuadrados. ¿Qué relación debe existir entre el radio y la altura para que el volumen sea máximo? ¿Para qué valor de K el radio es 1 metro? Calcula el volumen máximo para K D 12. Solución. Sea r el radio de la base y h la altura. El área de la superficie del depósito es r2 C2rh. Debe verificarse que r2 C 2rh D K de donde obtenemos que h D K r 2 2r . El volumen viene dado por V .r/ D r2h D r2 K r 2 2r D  2 .Kr r3/, donde r > 0. Tenemos que V 0.r/ D  2 .K 3r2/. El único punto donde se anula la derivada es r0 D p K=3 . Para 0 < r < r0 es V 0.r/ > 0, por lo que V es estrictamente creciente en 0; r0. Luego 0 < r < r0 ÷V .r/ < V .r0/. Para r0 < r es V 0.r/ < 0, por lo que V es estrictamente decreciente en Œr0; C1Œ. Luego r0 < r ÷V .r0/ > V .r/. Hemos probado así que para todo r > 0 se verifica V .r/ 6 V .r0/. Por tanto V alcanza un máximo absoluto en r0. La altura correspondiente a r0 es h0 D K r2 0 2r0 D 3r2 0 r2 0 2r0 D r0. Para k D 3 es r0 D 1. Para K D 12 se tiene que r0 D 2 y V .r0/ D  2 .24 8/ D 8 metros cúbicos.© Ejercicios de Análisis Matemático 2 Ejercicio 3. a) Calcula el límite lKım x!0  3 sen x 3 x cos x x3 1=x2 . b) Calcula los límites laterales en 0 de la función dada para todo x ¤ 0 por f .x/ D x 2w 0 sen. p t/ dt x3 . Solución. a) Tenemos que: lKım x!0 3 sen x 3 x cos x x3 D lKım x!0 3x sen x 3x2 D lKım x!0 sen x x D 1: Donde hemos aplicado una vez la regla de L’Hôpital. El límite pedido es, por tanto, una indeterminación del tipo 11. Aplicaremos el criterio de equivalencia logarítmica. lKım x!0 1 x2  3 sen x 3 x cos x x3 1  D lKım x!0 3 sen x 3 x cos x x3 x5 D lKım x!0 3x sen x 3x2 5x4 D D3 5 lKım x!0 sen x x x3 D 3 5 1 6 D 1 10 Donde hemos aplicado una vez la regla de L’Hôpital. En consecuencia, el límite pedido es igual a e1=10. b) El límite pedido es una indeterminación del tipo 0=0. Aplicamos la regle de L’Hôpital. Para derivar el numerador tenemos en cuenta que la función H.x/ D x 2w 0 sen. p t/ dt es la composición de las funciones F.x/D xw 0 sen. p t/ dt y g.x/Dx2, pues claramente H.x/DF.g.x//. Por la regla de la cadena y el Teorema Fundamental del Cálculo será H 0.x/DF 0.g.x//g 0.x/Dsen. p g.x//g 0.x/Dsen. p x2/2x Dsen.jxj/2x. Por tanto: lKım x!0 x>0 f .x/ D lKım x!0 x>0 sen.jxj/2x 3x2 D 2 3 lKım x!0 x>0 sen.x/ x D 2 3 : lKım x!0 x<0 f .x/ D lKım x!0 x<0 sen.jxj/2x 3x2 D 2 3 lKım x!0 x<0 sen.x/ x D 2 3 : © Ejercicio 4. Estudia la convergencia de las series: a/ X n>1 .n!/2 .2n/! b/ X n>1 n32n c/ X n>1 .1/nC1 p n n p n C 1 Solución. a) Es una serie de términos positivos. Aplicamos el criterio del cociente. Pongamos an D .n!/2 .2n/! . Tenemos que: anC1 an D .n C 1/ 2 .2n C 2/.2n C 1/ ! 1 4 < 1: La serie converge. b) Es una serie de términos positivos. Aplicamos el criterio del cociente. Pongamos an D n32n. Tenemos que: anC1 an D  n C 1 n 3 1 2 ! 1 2 < 1: La serie converge. Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Ejercicios de Análisis Matemático 3 c) Para ver si es convergente, como se trata de una serie alternada, aplicaremos el criterio de Leibniz. Probaremos que la sucesión an D p n n p n C 1 es decreciente y converge a 0. Tenemos que: anC1 < an ” p n C 1 .n C 1/ p n C 1 C 1 < p n n p n C 1 ” ” n p n.n C 1/ C p n C 1 < .n C 1/ p n.n C 1/ C p n ” p n C 1 < p n.n C 1/ C p n Como esta última desigualdad es evidentemente cierta para todo n 2 N , concluimos que fang es decre- ciente. Por otra parte, es evidente que 0 < an < p n n p n D 1 n : Por lo que fang ! 0. Por el criterio de Leibniz, la serie X n>1 .1/nC1an es convergente. Esta serie no es absolutamente convergente porque an > p n n p n C pn D 1 n C 1 > 1 2n : Y la serie X n>1 1 2n D 1 2 X n>1 1 n es divergente. © Ejercicio 5. Dado t > 1, sea V .t/ el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la región del plano comprendida bajo la curva y D 1p x.x2 2x C 2/ .1 6 x 6 t/ Calcula V .t/ y lKım t!C1 V .t/. Solución. El volumen viene dado por V .t/ D  tw 1 1 x.x2 2x C 2/ dx . Calcularemos una primitiva de la función 1 x.x2 2x C 2/ . La descomposición en fracciones simples es: 1 x.x2 2x C 2/ D A x C Cx C D x2 2x C 2 ÷ 1 D A.x 2 2x C 2/ C .Cx C D/x Haciendo x D 0 resulta A D 1=2. Identificando coeficientes de x2 y de x tenemos que A C C D 0 y 2A C D D 0. Resulta así C D 1=2, D D 1. Por tanto: 1  V .t/ D1 2 tw 1 1 x dx C tw 1 1 2 x C 1 x2 2x C 2 dx D 1 2 log.t/ 1 4 tw 1 2x 2 x2 2x C 2 dx C 1 2 tw 1 1 1 C .x 1/2 dx D D1 2 log.t/ 1 4 log.t2 2t C 2/ C 1 2 arc tg.t 1/ D 1 2 log  tp t2 2t C 2  C 1 2 arc tg.t 1/: Deducimos que: lKım t!C1 V .t/ D  2 4 : © Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada 14. Sea A.t/ el área de la región del plano (sombreada en gris en la figura) comprendida entre la elipse de ecuación 4x2 C y2 D 1, la recta horizontal y D 1 y la recta vertical x D t donde 06 t 6 1=2. Se pide calcular los valores máximo y mínimo absolutos deA.t/ en el intervalo Œ0; 1=2. b b bb t 1 12 4x2 C y2 D 1 0 Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Curso 1o - Grado en Física Examen de Análisis Matemático I 1. Sea f W RC ! R la función definida por f .x/D x2 4x 6 log.x/ para todo x > 0. a) Prueba que f alcanza un mínimo absoluto en RC y determina el conjunto imagen f .RC/ de dicha función. c) Determina el número de soluciones de la ecuación f .x/D 0 en RC y localiza dichas soluciones en intervalos disjuntos. Observaciones. Recuerda que log.x/ es el logaritmo natural o neperiano de x. Razona con detalle tus respuestas. 2. En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta, y a 500 metros río arriba, se está construyendo una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta a 9 euros cada metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta a 15 euros cada metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?. 3. a) Calcula el límite lKımx!02x x cosxsenx 1=x2 . b) Calcula la siguiente integral: =4w0 xcos2 x dx 4. Calcula el área de las dos partes en que la parábola y2 D x divide al círculox2 C y2 D 2. x2 C y2 D 2 y2 D xb b 5. Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series: a) Xn>1 ..3n/!/246n.n!/6 b) Xn>1.1/nC11C 1nnn Granada, 7 de septiembre de 2011 Grado en Física – Análisis Matemático I 1. (2 puntos) Sea f W R ! R la función dada por f .x/ D 2x 2 C 6x C 10 x2 C 1 .x 2R/: a) Calcula los extremos relativos de f y comprueba que son extremos absolutos. Calcula la imagen de f y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Usando los resultados anteriores, estudia el número de soluciones de la ecuación f .x/ D m según el valor del número real m. 2. (2 puntos) Un rectángulo tiene su base sobre el eje OX , su esquina inferior izquierda es .0; 0/ y su esquina superior derecha está en la gráfica de la función f W1; C1Œ! R definida por f .x/ D 1 x 1 .x > 1/: a) Calcula las dimensiones del rectángulo de mínimo perímetro que se puede conseguir de esta forma. b) ¿Hay un rectángulo, del tipo descrito arriba, cuya área sea extrema (máxima o mínima)? 3. (1,5 puntos) Justifica que la ecuación x 2 D x sen x C cos x tiene exactamente dos soluciones reales. 4. (1,5 puntos) Calcula la primitiva w 5x 2 10x C 9 x3 5x2 C 9x 5 dx . 5. (1 punto) Estudia la convergencia de la serie X n>1 ..n C 2/!/3 .n C 1/3n 9 n. 6. (1 punto) Calcula el límite lKım x!0 log  sen x x  .log.1 C x//2 . 7. (1 punto) Calcula el volumen de los cuerpos de revolución obtenidos al girar la región del plano comprendida entre los ejes coordenados y la gráfica de la función f .x/ D 1p x2 C 4 0 6 x 6 1 alrededor del eje de abscisas y alrededor del eje de ordenadas. Granada, 30 de enero de 2012 Grado en Física – Ejercicios de Análisis Matemático I 3 Por tanto p 0.x/ D 0 ” .x 1/2 D 1, es decir x 1 D 1 o x 1 D 1. Como debe ser x > 1 el único punto crítico de p.x/ que cumple dicha condición es x0 D 2. Como p 0.3=2/ D 2 8 D 6 < 0 y p 0.3/ D 2 1 D 1 > 0 y p 0 no se anula en los intervalos 1; 2Œ y 2; C1Œ, deducimos que: 1 < x < 2 ÷ p 0.x/ < 0 ÷ p  en Œ1; 2 ÷ p.2/ < p.x/ 2 < x ÷ p 0.x/ > 0 ÷ p  en Œ2; C1Œ ÷ p.2/ < p.x/ Hemos probado así que el perímetro mínimo absoluto se alcanza para x D 2 y su valor es 6 (unidades de medida). El área del rectángulo viene dada por la función: A.x/ D xf .x/ D x x 1 .x > 1/ Su derivada es: A 0.x/ D 1 .x 1/2 < 0 Deducimos que dicha función es estrictamente decreciente y por tanto no tiene extremos. Observa que lKım x!1 x > 1 A.x/ D C1 y lKım x!C1 A.x/ D 1 por lo que A.1; C1Œ/D1; C1Œ. La función área no alcanza en 1; C1Œ un valor mínimo (toma valores siempre mayores que 1 que pueden estar tan cerca de 1 como queramos pero sin alcanzar nunca dicho valor) ni un valor máximo (toma valores positivos tan grandes como queramos). © Ejercicio 3. (1,5 puntos) Justifica que la ecuación x2 D x sen x C cos x tiene exactamente dos soluciones reales. Solución. Definamos f W R ! R por f .x/ D x sen x C cos x x2. Dicha función es indefi- nidamente derivable en R. Por supuesto, es continua y está definida en un intervalo. Tenemos que f ./ D f ./ D 1 2 < 0 y f .0/ D 1 > 0. Por el teorema de Bolzano deducimos que hay puntos c1 2 ; 0Œ y c2 20; Œ en los que la función f se anula: f .c1/ D f .c2/ D 0. Veamos que dichos puntos son los únicos puntos donde la función se anula. Tenemos que f 0.x/ D sen x C x cos x sen x 2x D x cos x 2x D x.cos x 2/ Como para todo x 2 R es cos x 2 < 0, deducimos que la derivada de f se anula una sola vez (en x D 0). Como por el teorema de Rolle sabemos que entre cada dos ceros de una función derivable tiene que haber al menos un cero de la derivada, deducimos que la función f no puede tener más de dos ceros distintos. Por tanto, f tiene exactamente dos ceros. También podemos razonar observando que para x < 0 es f 0.x/ > 0 por lo que f es estrictamente creciente en  1; 0, luego solamente puede anularse una vez en dicho intervalo. Para x > 0 es f 0.x/ < 0 por lo que f es estrictamente decreciente en Œ0; C1Œ, luego solamente puede anularse una vez en dicho intervalo. © Ejercicio 4. (1,5 puntos) Calcula la primitiva w 5x2 10x C 9 x3 5x2 C 9x 5 dx . Solución. Se trata de una función racional propia (grado del denominador estrictamente mayor que el grado del numerador). Procederemos a la descomposición en fracciones simples. Para ello calculamos los ceros del denominador. Claramente x D 1 es uno de ellos. Dividiendo por Ruffini obtenemos que Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Grado en Física – Ejercicios de Análisis Matemático I 4 x3 5x2 C9x 5 D .x 1/.x2 4x C5/. Como el trinomio x2 4x C5 tiene discriminante negativo ya no hay más raíces reales. La descomposición en fracciones simples es de la forma: 5x2 10x C 9 .x 1/.x2 4x C 5/ D A x 1 C Bx C C x2 4x C 5 Multiplicando por el denominador obtenemos: 5x2 10x C 9 D A.x2 4x C 5/ C .Bx C C /.x 1/ Haciendo xD1 obtenemos AD2. Haciendo xD0 obtenemos 9D5AC de donde C D1. Identificando coeficientes de x2 obtenemos 5 D A C B, de donde B D 3. Tenemos que: w 5x2 10x C 9 x3 5x2 C 9x 5 dx D w 2 x 1 dx C w 3x C 1 x2 4x C 5 dx La primera primitiva es inmediata: w 2 x 1 dx D 2 logjx 1j (te recuerdo que log es el logaritmo natural, llamado también logaritmo neperiano). Calculemos la segunda primitiva para ello completamos en el numerador la derivada del denominador: w 3x C 1 x2 4x C 5 dx D w 3 2 .2x 4/ C 7 x2 4x C 5 dx D 3 2 log.x2 4x C 5/ C 7 w 1 .x 2/2 C 1 dx D D3 2 log.x2 4x C 5/ C 7 arc tg.x 2/ © Ejercicio 5. (1 punto) Estudia la convergencia de la serie X n>1 ..n C 2/!/3 .n C 1/3n 9 n. Solución. Se trata de una serie de términos positivos. Aplicaremos el criterio del cociente. anC1 an D ..n C 3/!/ 39nC1 .n C 2/3.nC1/ .n C 1/3n ..n C 2/!/39n D .n C 3/3..n C 2/!/39n9.n C 1/3n .n C 2/3.n C 2/3n..n C 2/!/39n D D9 .n C 3/ 3 .n C 2/3 .n C 1/3n .n C 2/3n D 9  n C 3 n C 2 3  n C 1 n C 2 3n ! 9 e3 D 9 e3 < 1 Donde hemos tenido en cuenta que:  n C 1 n C 2 3n D  n C 2 n C 1 n3 D  1 C 1 n C 1 n3 ! e3 O también, como se trata de una indeterminación uvn n del tipo 11 con un D n C 1 n C 2 y vn D 3n, sabemos que uvn n ! eL ”vn.un 1/ ! L. En nuestro caso es inmediato que vn.un 1/ ! 3. Concluimos, por el criterio del cociente, que la serie es convergente. © Ejercicio 6. (1 punto) Calcula el límite lKım x!0 log  sen x x  .log.1 C x//2 . Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Grado en Física – Ejercicios de Análisis Matemático I 5 Solución. Como lKım x!0 sen x x D 1, se trata de una indeterminación del tipo 0 0 . Podemos aplicar la regla de L’Hôpital (¿qué haríamos sin ella?). Para ello derivamos numerador y denominador para obtener la función: x sen x x cos x sen x x2 1 1 C x 2 log.1 C x/ D x sen x .1 C x/x cos x sen x 2x2 log.1 C x/ Puesto que: lKım x!0 x sen x .1 C x/ D 1 El límite pedido es igual al límite lKım x!0 x cos x sen x 2x2 log.1 C x/ D lKımx!0 x sen x 4x log.1 C x/ C 2x 2 1 C x D lKım x!0 .1 C x/ sen x 4.1 C x/ log.1 C x/ C 2x D D lKım x!0 sen x 4.1 C x/ log.1 C x/ C 2x D lKımx!0 cos x 4 log.1 C x/ C 6 D 1 6 Hemos aplicado la regla de L’Hôpital tres veces. Podemos hacer este límite de forma más sencilla si utilizamos que log.1 C x/  x para x ! 0. Con lo que: lKım x!0 log  sen x x  .log.1 C x//2 D lKımx!0 log  sen x x  x2 D lKım x!0 x sen x x cos x sen x 2x3 D lKımx!0 x cos x sen x 2x3 D lKımx!0 x sen x 6x2 D lKımx!0 sen x 6x D 1 6 Ahora hemos aplicado la regla de L’Hôpital dos veces. Todavía podemos hacer este límite de forma más sencilla si recordamos que cuando lKım x!0 h.x/D1 se verifica que log.h.x//  h.x/1 para x ! 0. lKım x!0 log  sen x x  .log.1 C x//2 D lKımx!0 sen x x 1 x2 D lKım x!0 sen x x x3 D 1 6 El último es uno de esos que deberías saberte de memoria porque se repite mucho. © Ejercicio 7. (1 punto) Calcula el volumen de los cuerpos de revolución obtenidos al girar la región del plano comprendida entre los ejes coordenados y la gráfica de la función f .x/ D 1p x2 C 4 0 6 x 6 1 alrededor del eje de abscisas y alrededor del eje de ordenadas. Solución. Para calcular el volumen cuando el giro es alrededor del eje de abscisas aplicaremos el método de los discos. El volumen pedido viene dado por:  1w 0 .f .x//2 dx D  1w 0 1 x2 C 4 dx D  2 1w 0 1 2 .x=2/2 C 1 dx D  2  arc tg.x=2/ xD1 xD0 D  2 arc tg.1=2/ Para calcular el volumen cuando el giro es alrededor del eje de ordenadas aplicaremos el método de los tubos. El volumen pedido viene dado por: 2 1w 0 xf .x/ dx D2 1w 0 x 1p x2 C 4 dx D 1w 0 2x.x2C4/1=2 dx D2  .x2 C4/1=2 xD1 xD0 D2. p 52/ © Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Grado en Física Examen de Análisis Matemático I – Febrero 2013 1. a) Prueba, usando el teorema de Bolzano, que la función f .x/ D cos x 2 sen x C x 3 2 se anula en al menos tres puntos. b) Prueba, usando el teorema de Rolle, que dicha función no puede anularse en más de tres puntos. 2. Prueba que para todo x 2 =2; =2 se verifica la desigualdad: sen x 1 C sen x 6 ln.1 C sen x/: ¿Cuándo se da la igualdad? 3. Calcula las dimensiones del trapecio isósceles de área maxima inscrito en la semicircunferencia superior centrada en el origen de radio R. xx O R 4. Calcula el área de la luna formada por la intersección de la parte superior de los círculos C1 de centro el origen y radio R y C2 de centro .0; R/ y radio p 2R. Calcula el volumen del sólido obtenido al girar dicha luna alrededor del eje de abs- cisas. RR R O C1 C2 b b b 5. I) Estudia la convergencia de las siguientes series: a) X n>1 .1/nC1 p n C 1 p n  b) X n>1 s 7
10
13 : : : .3n C 4/ 14
17
20 : : : .3n C 11/ II) Calcula el límite de la sucesión xn D p 1 C p 2 C p 3 C


C p n p n3 Granada, 15 de febrero de 2013 Grado en Física Examen de Cálculo I - Convocatoria de febrero 2014 Ejercicio 1. a) (1 punto) Sea f W Œ1; 1 ! R una función continua verificando que 1 6 f .x/ 6 1 para todo x 2 Œ1; 1. Prueba que hay algún c 2 Œ1; 1 para el que se verifica la igualdad f .c/ D 1 4 .c3 C 3c/. b) (1 punto) Prueba que para todo x 2 Œ0; =2 se verifica que sen x > 2  x. Ejercicio 2. (2 puntos) Dos fábricas están situadas en .a; 0/ y .a; 0/ y en .0; b/ hay una central eléctrica. Calcula el punto P D .0; y/ para que la longitud total del tendido eléctrico desde la central a las fábricas sea mínimo. Debes discutir el resultado según los valores de a y de b. .0; b/ P D .0; y/ .a; 0/ .a; 0/ b b b b Ejercicio 3. (2 puntos) Sea a > 0. Calcula usando técnicas de integración el área de la luna formada por la parte del círculo x2 C .y a/2 D a2 que es exterior al círculo x2 C y2 D 2a2. Calcula el volumen del sólido obtenido al girar dicha luna alrededor del eje de abscisas. a p 2 aO b Ejercicio 4. a) (1 punto) Estudia la convergencia absoluta y la convergencia de las siguientes series: i) X n>1 .1/nC1 n 2 n3 C 1 I ii) X n>1 .3n/! .5n/3n 2n b) (0,5 puntos) Calcula el límite de la sucesión: xn D ln.n!/ ln.nn/ . c) (0,5 puntos) Calcula el límite: lKım x!0  1 2 2 cos x 1 sen2 x  . Ejercicio 5. (2 puntos) Dado t > 0, sea V .t/ el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la región del plano comprendida bajo la curva y D p x p .x C 1/.x2 C 2x C 2/ .0 6 x 6 t/ Calcula V .t/ y lKım t!C1 V .t/. Ejercicio 6. Sea la serie de potencias X n>0 1 2n C 1x 2nC1. a) (0,5 puntos) Calcula el radio de convergencia y estudia la convergencia de la serie en los extremos del intervalo de convergencia. b) (1 punto) Calcula, usando el teorema de derivación de series de potencias, la función suma de la serie. c) (0,5 puntos) Calcula 1 X nD0 1 4n.2n C 1/ . Granada, 7 de febrero de 2014 Examen Análisis Matemático I - 02/14 3 tiene que ser negativa a su izquierda y positiva a la derecha. Bien, pues compruébalo. Para ello basta evaluar la derivada en un punto a la izquierda y en otro a la derecha del único punto crítico. Pocos hacéis bien este ejercicio que valía dos puntitos. Lo dicho, un regalito. Alguno hace este ejercicio usando el teorema de Weierstrass de valores máximos y mínimos para afirmar que el mínimo absoluto de f en Œ0; b se alcanzará o bien en 0 o en b o en a= p 3. Razonando de esta forma nos ahorramos estudiar el signo de la derivada y la monotonía de f pero en cambio debemos compara los valores f .0/, f .b/ y f .a= p 3 para decidir cuál es el menor y, claro está, hay que considerar cuándo a= p 3 está en Œ0; b. No es esa la mejor forma de hacer este ejercicio. § Ejercicio 3. (2 puntos) Sea a > 0. Calcula usando técnicas de integración el área de la luna formada por la parte del círculo x2 C .y a/2 D a2 que es exterior al círculo x2 C y2 D 2a2. Calcula el volumen del sólido obtenido al girar dicha luna alrededor del eje de abscisas. a a a p 2 aO b Solución. La parte superior de la circunferencia x2 C .y a/2 Da2 viene dada por y DaC p a2 x2. El área pedida, S , viene dada por la integral: S D aw a  a C p a2 x2 p 2a2 x2  dx D 2a2 C  2 a2 aw a p 2a2 x2 dx Donde hemos usado que aw a p a2 x2 dx D  2 a2 porque es el área de un semicírculo de radio a. Todo lo que hay que hacer es calcular la integral restante. Tenemos: aw a p 2a2 x2 dx D 2 4 x D p 2a sen t ! dx D p 2a cos t dt a D p 2a sen t0 ! t0 D =4 a D p 2a sen t1 ! t1 D =4 3 5 D  4w  4 p 2a2 2a2 sen2 t p 2a cos t dt D D 2a2  4w  4 p 1 sen2 t cos t dt D 2a2  4w  4 p cos2 t cos t dt D 2a2  4w  4 jcos t j cos t dt D D 2a2  4w  4 cos2 t dt D 2a2  4w  4 1 C cos.2t/ 2 dt D 2a2  1 2 t C 1 4 sen.2t/ tD  4 tD  4 D a2  2 C a2 Donde hemos tenido en cuenta que para t 2 Œ=4; =4 se tiene que cos t > 0. Concluimos que S D a2. El volumen pedido, V , usando el método de los discos o arandelas, viene dado por la integral: V D aw a  a C p a2 x2
2 p 2a2 x2
2  dx D2a aw a p a2 x2 dx Da32 Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Examen Análisis Matemático I - 02/14 4 © Comentarios. El área que se pide es tan fácil de calcular directamente que por eso en el enunciado del ejercicio se dice ”Calcula usando técnicas de integración”. La gran dificultad es que la mayoría no sabéis hacer un cambio de variable en una integral definida, aunque se trate del más corriente de todos. Y aunque se haya hecho en clase. Una dificultad adicional para algunos es despejar y en función de x en la ecuación de la circunferencia x2 C .y a/2 D a2. Algunos creen que la y significa lo mismo en las ecuaciones de las dos circunferencias. Pues no, porque no son la misma circunferencia. § Ejercicio 4. a) (1 punto) Estudia la convergencia absoluta y la convergencia de las siguientes series: i) X n>1 .1/nC1 n 2 n3 C 1 I ii) X n>1 .3n/! .5n/3n 2n b) (0,5 puntos) Calcula el límite de la sucesión: xn D ln.n!/ ln.nn/ . c) (0,5 puntos) Calcula el límite: lKım x!0  1 2 2 cos x 1 sen2 x  . Solución. a)-i) Para estudiar la convergencia absoluta de la serie en i) consideramos la serie X n>1 n2 n3 C 1 . Puesto que: n2 n3 C 1 > n2 2n3 D 1 2 1 n y la serie armónica X n>1 1 n sabemos que es divergente, concluimos, por el criterio de comparación para series de términos positivos, que la serie X n>1 n2 n3 C 1 es divergente. Por tanto, la serie en i) no converge absolutamente. Seguidamente, como se trata de una serie alternada, aplicaremos el criterio de Leibniz para estudiar la convergencia no absoluta. Pongamos an D n2 n3 C 1 . Claramente lKımfang D 0. Veamos si la sucesión fang es decreciente. Tenemos: .n C 1/2 .n C 1/3 C 1 6 n2 n3 C 1 , .n C 1/ 2.n3 C 1/ 6 n2..n C 1/3 C 1/ , 1 C 2n 6 n2 C 2n3 C n4 Como evidentemente la última desigualdad se verifica para todo n 2 N , concluimos que la sucesión fang es decreciente y, por el criterio de Leibniz, se sigue que la serie es convergente. a)-ii) Se trata de una serie de términos positivos. Para estudiar su convergencia usaremos el criterio del cociente. Pongamos an D .3n/! .5n/3n 2n. Tenemos que: anC1 an D .3.n C 1//! .5.n C 1//3.nC1/ 2 nC1 .5n/ 3n .3n/! 2n D2 .3n C 1/.3n C 2/.3n C 3/ .5n C 5/3  n n C 1 3n ! 2 27 125 1 e3 < 1 Luego la serie es convergente. Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Examen Análisis Matemático I - 02/14 5 b) Tenemos que xn D an bn donde an D ln.n!/ y bn D ln.nn/ D n ln n. Como fbng es estrictamente creciente y divergente aplicaremos el criterio de Stolz. Tenemos que: anC1 an bnC1 bn D ln.n C 1/ .n C 1/ ln.n C 1/ n ln nD ln.n C 1/ ln.n C 1/ C n ln.n C 1/ n ln nD ln.n C 1/ ln.n C 1/ C ln  n C 1 n n Como  n C 1 n n ! e, se sigue que ln  n C 1 n n ! 1. Poniendo zn D ln  nC1 n n tenemos que: anC1 an bnC1 bn D ln.n C 1/ ln.n C 1/ C zn D 1 1 C zn ln.n C 1/ ! 1 Concluimos, por el criterio de Stolz, que lKım ln.n!/ ln.nn/ D 1. c) Tenemos que: lKım x!0  1 2 2 cos x 1 sen2 x  D lKım x!0 sen2 x 2 C 2 cos x .2 2 cos x/ sen2 x El límite es una indeterminación del tipo 0=0 y podemos aplicar la regla de L’Hôpital. Pero antes de derivar usaremos las equivalencias asintóticas sen x  x y 2 2 cos x  x2 válidas cuando x ! 0. lKım x!0 sen2 x 2 C 2 cos x .2 2 cos x/ sen2 x D lKımx!0 sen2 x 2 C 2 cos x x4 D lKım x!0 2 sen x cos x 2 sen x 4x3 D D lKım x!0 sen.2x/ 2 sen x 4x3 D lKım x!0 2 cos.2x/ 2 cos x 12x2 D lKım x!0 2 sen.2x/ C sen x 12x D 1 4 Donde hemos aplicado la regla de L’Hôpital tres veces. © Comentarios. En las series hay disparates de todo tipo. Demasiado variados para recogerlos aquí todos. Hay quien cree que si anC1 an ! L entonces la serie converge a L. Varios afirman que si el término general fang converge a cero entonces la serie X n>1 an es convergente. Claro, la serie armónica, P 1 n , como es bien sabido, es convergente. Para algunos el criterio de Leibniz es un criterio de convergencia absoluta. Hay quien afirma que n 2 n3C1 no converge a cero. Con respecto a la sucesión, se repite, cómo no, el típico error con logaritmos que consiste en afirmar que un cociente de logaritmos es igual al logaritmo de la diferencia, aunque hay otras variantes del mismo error. El límite es un regalito. Algunos siguen empeñados en hacer sustituciones por equivalencias asintóticas en sumas. Quizás necesiten dos cursos para aprender que eso no puede hacerse. Ejercicio 5. (2 puntos) Dado t > 0, sea V .t/ el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la región del plano comprendida bajo la curva y D p x p .x C 1/.x2 C 2x C 2/ .0 6 x 6 t/ Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Examen Análisis Matemático I - 02/14 8 Luego 1 X nD0 1 2n C 1 1 4n D ln 3. © Comentarios. Este ejercicio no lo ha hecho nadie completo. Se hizo uno en clase algo más complicado pero muy parecido. Llama la atención que varios afirman que la serie en el apartado c) no converge o que su suma es cero. ¿Cómo puede ser cero la suma de una serie de términos estrictamente positivos?.§ Dpto. de Análisis Matemático Universidad de Granada Posible Examen Análisis Matemático I 1. (2 puntos) Un rectángulo tiene su base sobre el eje OX, su esquina inferior izquierda es (0,0) y su esquina superior derecha está en la gráfica de la función f :]1,+∞[−→ R definida por f (x) = 1 x−1 . (a) Calcule las dimensiones del rectángulo de mínimo perímetro que se puede conseguir de esta forma. (b) ¿Hay un rectángulo, del tipo descrito arriba, en el que el área sea extrema (máxima o mínima)? 2. (2 puntos) Calcule el radio de convergencia de la serie ∑ n≥2 xn n log2(n) . y su comportamiento en los extremos del intervalo de convergencia. 3. (1 punto) Calcule el número de soluciones de la ecuación 9 log(x) = x3 . 4. (2 puntos) Considérese la función f : R−→ R definida por f (x) = 3x4−4x3−12x2. Calcúlense: a) sus extremos relativos y absolutos, b) La imagen de f . 5. (2 puntos) a) El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demuéstrese que rompién- dolo en dos partes, existe una depreciación que es máxima cuando se divide en dos partes iguales. b) Demuéstrese que dados tres números reales a,x,y se tiene que |sen(ax)− sen(ay)| ≤ |a| |x− y|. 6. (2 puntos) Sea f : [0,π]−→R la función definida por f (x) = 12+cosx . Calcúlese el área comprendida entre la gráfica de la función f y el segmento que une los puntos (0,0) y (π,1/3). 7. (2 puntos) Se consideran los segmentos horizontales que están situados en la región acotada del plano que está encerrada entre las dos curvas y = x2 e y = √ 8x y que tienen un extremo en cada curva. Determine, de entre todos ellos, aquel que tiene longitud máxima. 8. (2 puntos) Calcule el volumen obtenido al girar respecto del eje OX la región comprendida entre las curvas y = x3 e y = 2x− x2. 9. (2 puntos) (a) Analíce si es posible encontrar un valor m ∈ R tal que la ecuación 2x5 + x + m = 0 tenga exactamente dos raíces reales. (b) Considérese la función F : R+ −→R definida por F(x) = ∫ e−1/x2 0 √ 1+3cos4(t) dt. Calcule la función derivada de F en R+ y el límite lı́m x→0 ∫ e−1/x2 0 √ 1+3cos4(t) dt e−1/x2 . 10. (2 puntos) Considérese la función f : R−→ R dada por f (x) = 2x 2 +6x+10 x2 +1 (x ∈ R). (a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos absolutos y la imagen. (b) Basándose en el apartado anterior, calcular el número de soluciones de la ecuación f (x) = m según el valor del número real m. 2 y por tanto el radio de convergencia de la serie es R = 1. En consecuencia, la serie converge absolutamente en el intervalo ]−1,1[, converge uniformemente en todo intervalo de la forma ]− r,r[ para 0 < r < 1, y no converge en ]−∞,−1[∪]1,+∞[. Nada se puede prejuzgar a priori sobre la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia ]−1,1[. Vamos a estudiar el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo de convergencia. Para x = 1 tenemos la serie ∑ n≥2 1 n log2(n) que es una serie de términos positivos cuya sucesión de coeficientes {an}n≥2 = { 1 n log2(n) } n≥2 es estrictamente decreciente. Por el Criterio de Condensación, nuestra serie tiene el mismo carácter que la serie ∑ n≥2 2na2n = ∑ n≥2 2n 1 2n log2(2n) = ∑ n≥2 1 (n log(2))2 = ∑ n≥2 1 n2 log2(2) = 1 log2(2) ∑n≥2 1 n2 Puesto que la serie armónica de razón 2, ∑ n≥2 1 n2 es convergente, se sigue que la serie ∑n≥2 1 n log2(n) es convergente. Para x =−1, tenemos la serie alternada ∑ n≥2 (−1)n n log2(n) . De lo anterior se sigue que dicha serie es absolutamente convergente, y por tanto convergente. Alternativamente, puesto que la sucesión { 1 n log2(n) } n≥2 es decreciente y convergente a 0, por el Criterio de Leibnitz, la serie alternada converge. Resumiendo, y teniendo en cuenta el Teorema de Abel, la serie converge absoluta y uniformemente en el intervalo [−1,1] y no converge en ]−∞,−1[∪]1,+∞[. (3) Para calcular el número de soluciones de la ecuación 9 log(x) = x3 vamos a estudiar la función f : R+→ R definida por f (x) = x3−9 log(x). Esta función es de clase C∞ ya que es la diferencia de una función polinómica con un múltiplo de la función logaritmo (neperiano). Por las reglas de derivación f ′(x) = 3x2−9 1 x , ∀x ∈ R+. 5 Luego f ′(x) = 0 ⇔ 3x2− 9 x = 0 ⇔ 3x3 = 9 ⇔ x3 = 3 ⇔ x = 3 √ 3. El estudio de los signos de f ′ pone de relieve que x 0 < x < 3 √ 3 x = 3 √ 3 3 √ 3 < x f ′(x) − 0 + p(x) Estrict. Decreciente Mínimo Absoluto Estrict. Creciente Luego f alcanza su mínimo absoluto en el punto x = 3 √ 3. Nótese que, puesto que e < 3, y por tanto, por el crecimiento de la función logaritmo, 1 < log(3), se sigue que f ( 3 √ 3) = 3−9 log( 3 √ 3) = 3−3 log(3) = 3(1− log(3)) < 0. Además, puesto que lı́m x→0 f (x) = +∞ y lı́m x→+∞ f (x) = lı́m x→+∞ x3 ( 1−9 log(x) x3 ) = +∞, se sigue, del Teorema del valor intermedio y del estudio de la monotonía que f se anula en dos puntos, esto es, la ecuación que nos daban al principio tiene dos soluciones. Concretamente, la representación gráfica de f es la siguiente (4) (a) La función f es de clase C∞ ya que es una función polinómica. Luego sus posibles extremos relativos serán puntos críticos. Por las reglas de derivación f ′(x) = 12x3−12x2−24x = 12x(x2− x−2) = 12x(x+1)(x−2), ∀x ∈ R. Luego los puntos críticos de f son x =−1, x = 0, x = 2. El estudio de los signos de f ′ pone de relieve que 6 x x <−1 x=-1 −1 < x < 0 x = 0 0 < x < 2 x = 2 2 < x f ′(x) − 0 + 0 − 0 + f (x) Estr. Decr. Mín. Rel. Estr. Cr. Máx. Rel. Estr. Decr. Mín. Rel. Estr. Cr. En consecuencia, f alcanza un mínimo relativo en los puntos x =−1 y x = 2, y f alcanza un máx- imo relativo en el punto x = 0. (Alternativamente, se podría haber llegado a esta misma conclusión estudiando el signo de f ′′ en los puntos x =−1, x = 0 y x = 2.) Nótese además que f (−1) =−5, f (0) = 0, f (2) =−32, y lı́m x→−∞ f (x) = lı́m x→+∞ f (x) = +∞. Luego, la gráfica de f Gr( f ) = {(x, f (x)) : x ∈ R} se representa como sigue Es claro entonces que f no está acotada superiormente, y por tanto no alcanza su máximo absoluto. Sin embargo, f alcanza su mínimo absoluto en el punto x = 2. (b) Puesto que f es continua y R es un intervalo, por el Teorema del valor intermedio, se sigue que f (R) es un intervalo. Del estudio llevado a cabo en la parte (a) sabemos que f (R) no está acotado superiormente y su mínimo es −32. En consecuencia, la imagen de f viene dada por f (R) = [−32,+∞[. (5) (a) Llamemos k a la constante de proporcionalidad entre el precio y el peso al cuadrado. Supong- amos que el peso del diamante es p y llamemos x al peso de una de las partes en las que se rompe. 7 Concretamente, la representación gráfica de la región A es la siguiente: En consecuencia, el área de A viene dada por λ(A) = ∫ π 0 ( f (x)−g(x))dx = ∫ π 0 f (x)dx− ∫ π 0 g(x)dx. Para el cálculo de la primera integral hacemos el cambio de variable t = tg x2 que transforma el intervalo ]0,π[ en el intervalo ]0,+∞[, y que permite escribir cosx = 1− t2 1+ t2 y dx = 2dt 1+ t2 . Por el Teorema del cambio de variable ∫ π 0 f (x)dx = ∫ π 0 dx 2+ cosx = ∫ +∞ 0 2dt 1+t2 2+ 1−t21+t2 = ∫ +∞ 0 2dt 2(1+ t2)+1− t2 = ∫ +∞ 0 2dt t2 +3 = ∫ +∞ 0 2 3 dt t2 3 +1 = 2√ 3 ∫ +∞ 0 1√ 3 dt ( t√ 3 )2 +1 . Puesto que la función F :]0,+∞[−→ R dada por F(t) = arctg t√ 3 es una primitiva de la función t 7→ 1√ 3 ( t√ 3 )2 +1 y lı́m t−→0 F(t) = 0 y lı́m t−→+∞ F(t) = π 2 , por la Regla de Barrow para integrales impropias se sigue que∫ π 0 f (x)dx = 2√ 3 ( π 2 −0 ) = π√ 3 = √ 3π 3 . La segunda integral es inmediata∫ π 0 g(x)dx = ∫ π 0 xdx 3π = 1 6π x2 ]π 0 = π2 6π = π 6 . 10 En consecuencia, λ(A) = √ 3π 3 − π 6 = 2 √ 3−1 6 π. (7) Para determinar la región acotada A del plano que está encerrada entre las dos curvas y = x2 e y = √ 8x estudiemos los puntos intersección de ambas. Para ello resolveremos el sistema y = x2 y = √ 8x ⇒ x2 = √ 8x ⇒ x4 = 8x ⇒ x(x3−8) = 0 ⇒  x = 0 ⇒ y = 0x = 2 ⇒ y = 4 En consecuencia, los puntos intersección son los puntos (0,0) y (2,4), y la región A es la que aparece en la figura siguiente Para cada y ∈ [0,4], nótese que el segmento horizontal situado en la región A formado por puntos que tienen ordenada y es el segmento con origen el punto ( y 2 8 ,y) y con extremo el punto ( √ y,y), y por consiguiente la longitud de dicho segmento viene dada por h(y) = √ y− y 2 8 . Luego la función a extremar es la función h : [0,4]−→ R definida por h(y) = √ y− y 2 8 . Claramente h es una función continua, positiva, y h(0) = h(4) = 0. Además, h es derivable en ]0,4] y h′(y) = 1 2 √ y − y 4 , ∀y ∈]0,4]. Luego h′(y) = 0 ⇔ 1 2 √ y − y 4 = 0 ⇔ 1 2 √ y = y 4 ⇔ 2 = y√y ⇔ 4 = y3 ⇔ y = 3 √ 4. Por consiguiente, h alcanza su máximo absoluto en el punto y = 3 √ 4, esto es el segmento de mayor longitud contenido en A es el formado por todos los puntos que tienen ordenada 3 √ 4. Además, dicho segmento tiene longitud h( 3 √ 4) = 4 1 6 − 4 2 3 8 = 2 1 3 − 2 .2 1 3 8 = 2 1 3 ( 1− 1 4 ) = 3 4 3√2. 11 Alternativamente, se podría haber planteado el ejercicio notando que, para cada x ∈ [0,2], el seg- mento horizontal contenido en A que tiene como extremo el punto (x,x2) tiene como origen el punto ( x 4 8 ,x 2), y por tanto longitud `(x) = x− x48 . Luego la función a extremar es la función ` : [0,2]−→R definida por `(x) = x− x 4 8 . Claramente ` es una función continua, positiva, y `(0) = `(2) = 0. Además, ` es derivable en [0,2] y `′(x) = 1− x 3 2 , ∀x ∈ [0,2]. Luego `′(x) = 0 ⇔ 1− x 3 2 = 0 ⇔ x3 = 2 ⇔ x = 3 √ 2. Por consiguiente, ` alcanza su máximo absoluto en el punto x = 3 √ 2, esto es el segmento horizontal de mayor longitud contenido en A es aquel cuyo punto extremo tiene abscisa 3 √ 2. Además, dicho segmento tiene longitud `( 3 √ 2) = 2 1 3 − 2 4 3 8 = 2 1 3 − 2 .2 1 3 8 = 2 1 3 ( 1− 1 4 ) = 3 4 3√2. (8) Sabemos que si f : [a,b]→ R es una función continua, entonces el volumen del sólido generado al girar la gráfica de f respecto del eje OX viene dado por V = π ∫ b a f (x)2 dx. En nuestro caso, para determinar la región comprendida entre las curvas y = x3 e y = 2x− x2, debemos empezar estudiando los puntos intersección de dichas curvas. y = x3 y = 2x− x2 } ⇒ x3 = 2x− x2 ⇒ x3 + x2−2x = 0 ⇒ x(x2 + x−2) = 0 ⇒  x = 0 ⇒ y = 0x = 12 (−1±√1+8) = 12 (−1±3) ={ 1 ⇒ y = 1−2 ⇒ y =−8. Por tanto, los puntos intersección son los puntos (−2,−8), (0,0), y (1,1). Más concretamente, la representación gráfica viene dada por 12 (a) f es una función racional y el polinomio del denominador no tiene raíces reales, luego f ∈ C∞(R). Por la reglas de derivación vemos que para todo real x se tiene que f ′(x) = (4x+6)(x2 +1)−2x(2x2 +6x+10) (x2 +1)2 . Operando y simplificando en el numerador se llega a que f ′(x) = −6x2−16x+6 (x2 +1)2 = −2(3x2 +8x−3) (x2 +1)2 . Por consiguiente, f ′(x) = 0 ⇔ 3x2 +8x−3 = 0 ⇔ x = −8± √ 64+36 6 = −8± √ 100 6 = −8±10 6 = { −3 1 3 Luego los puntos críticos de f son −3 y 13 , y f ′(x) = −2(x+3)(x− 13 ) (x2 +1)2 . Por lo tanto, tenemos que x x <−3 x =−3 −3 < x < 13 x = 1 3 1 3 < x f ′(x) − 0 + 0 − f (x) Decreciente Mínimo Rel. Creciente Máximo Rel. Decreciente Nótese que lı́m x→−∞ f (x) = lı́m x→+∞ f (x) = 2, y por tanto la recta y = 2 es asíntota horizontal para f en−∞ y en +∞. De aquí, teniendo en cuenta que f (−3) = 1 y f ( 13 ) = 11, se deduce que los dos extremos relativos de f son de hecho extremos absolutos, y, teniendo en mente el Teorema del valor intermedio, se sigue que la imagen de f es f (R) = [1,11]. Concretamente, la gráfica de f es como sigue: (b) Es claro que las soluciones de la ecuación f (x) = m son las abscisas de los puntos de corte de la gráfica de la función f con la recta horizontal y = m. Por tanto, de nuestro estudio de la función f deducimos que 15 m m < 1 m = 1 1 < m < 2 m = 2 2 < m < 11 m = 11 11 < m Número Sol. f (x) = m 0 1 2 1 2 1 0 16 Examen 1o F́ısicas. Análisis Matemático I. 1. Define los siguientes conceptos: función continua en un punto, fun- ción derivable, primitiva de una función. Enuncia el Teorema fundamental del Cálculo. Enuncia y demuestra la Regla de Barrow. 2. Sea g : [0,+∞[→ R definida por g(x) = ∫ x2 0 arctg √ t dt. Estu- dia la continuidad, derivabilidad, monotońıa, extremos e imagen de dicha función. Calcula una aproximación de g(1) mediante el polinomio de Taylor de grado 3 de g en 0. 3. a) Calcula ĺımn→∞ n √ (3n)! (2n)3n b) Estudia el carácter de la serie ∑ n≥1 √ 2·4....(2n) 3·5....(2n+1) c) Estudia la serie de potencias ∑ n≥1 √ n n+1(x − 1) n determinan- do el radio de convergencia, el intervalo de convergencia y el comportamiento en los extremos de dicho intervalo. 4. Encontrar entre todas las rectas que pasan por el punto (1, 2) la que forma con los semiejes positivos un triángulo de área mı́nima. Halla este área. ¿Y el de área máxima? 5. Calcula el área entre las curvas r(x) = 2 ex+e−x y s(x) = 3 4 ex+e−x 2 . Granada, 30 de Enero de 2015 se pelas Jardo 27 a y pera collulaz dm Ves bib halos ln E a (20) y La y A Lg - (303)! (20) y Ana nad Jan yn gs LE ta (ama)? (30) (emz)? L2nte E ¿5 de? 2. L ye nm óm (20.4)7n A S Ala, pur eL vuleno «e la rete , Val. gh (239 50? > = 24. tr! Zen) ; vi IT dana) dota: ENTE ftp atra / Lal 4 y el culemo del coceule nu 1 inferuaa tn Lat d / Lo Al iileño de Reebe. n/á- tus) Ones yz (Jn) ¿ti Ez) oo dle: apta ya eE Ele A lero de Reebe [2 gue no tomvepe | | E (eubo 0-4, E n+ 1 Radio =Kz lim Js [Lu Er y =4. A n?>/4 + vel mz En x=e-Rz4 -420 = Sar Ll see cone po A vuteno de tecbryt al y ge Y 9 1 E La Levuccuult : Vid A nu, 3 nu al 2 (E Er apo ae O (a entre) tinte e ¿non dente] En rsprrdZ de die e E E 8 ho coMNtipe pue titne el e Corey ue o “ee = A (queno couvenpe) Y Em (e) me nl Jutewalo de UNVE NR te mal (4) 3 7) Reca que po que (42) cam pode mx 22m i(X-1) 4 x=0 ym Ruato 10,2-18) E 50 224-%n Ras 42.0) 4 Área = (4- a 20). nati -A(m) A:xJ-a0L —R y « 4 + Y/m? Ala O mi, matz. dolo mz-240. Si mel, AÚmI<0, lugo Aa decucieulo ey 1-00,-2£ $ -2emeo , armi>0 = o - geiela e J-20L Ari A hitue un ruido ee mz ge vale A(2Z)A dé, Mo A to scado guna: YA => - 0 m->0 m0 Y po taulp uo hieue LA | 1 dl  APN tn A o | PR A ubiaviess el [eistal bbico y E | z L pel nl A | | FA EE E A A z y E - E [Bl e Na $ HEEE As a E fe [ET ll 3 ; q E A: 3 2 SETA y ES ES Aud a E S Es IP Lo + E : 3 ! EE ss ERES [TS 7 HS mim Él 54 : IS E ES | A [ Í E 7 e 3 IT TWA tía | etaeción 7 ¿gua a 24 E E] le .. 9 LE ú hrá q le [ a ba ON le + pe 4 -j E | At aj e ión o) Poinomio de Tala | fee fa del ldllolodoad Ll Ll en ps pu 4 fade I í Le a | - | mepopl e a HH ' [cata prisa dicta 04 US cado ol o celia la dod5= fee a AAA ssl Se mee lasl. ] - Eapal e ete A Esto Años qua ge AA Ml A Xo Lua e AOOUNNENES co hugo 10 Emb latin ete) 24006) forser [enim ne ga o pe CEA Análisis Matemático I. Grado en Física Sé claro y ordenado. No es necesario copiar los enunciados. Justifica (como en clase) los pasos dados aludiendo a los resultados o teoremas necesarios, RECUADRA LAS SOLU- mM CIONES OBTENIDAS Y QUE SE SOLICITAN EN CADA EJERCICIO. ÉS 1. Enuncia el Teorema del Valor Medio. los quato! Dada /: f=k derivable, 7 un intervalo, demuestra: a) f es decreciente + f'(+) < 0 para cualquier + C 7 14) my) b) f es estrictamente decreciente si /'(+) < 0 para todo + € !, pero que el recíproco no es cierto 10095) Á 2. Resuelve (en C) la ecuación 2? = 2 y representa las soluciones. 4S 3. a) Prueba, usando el Teorema de Bolzano, que la función 1075) gle) cos 3 —2 senal E se anula en al menos tres puntos (nótese que y (4) < 0). b) Prueba, usando el Teorema de Rolle, que dicha función no puede anularse en más de tres puntos. (0075) AS 4. ¿ / . X, Calcula las dimensiones del trapecio isósceles de área máxima inscrito en la semicircunferencia superior centrada en el origen y de radio R. Calcula el área de la luna formada por la intersección de la parte superior de los círculos (((0.0),1) y C((0. —1). v2). a 145 a) Dada la serie de potencias > an» calcula el radio y el intervalo de conver- gencia. (973) b) Calcula el límite 1+ (1 44%) cos x (05) lím 20 y? y usa el resultado obtenido para estudiar la convergencia de la serie z ( +in ( + 2) — cos ) (05) En En Granada a 2 de Septiembre de 2016