Capítulo 1, Ejercicios de Física

¡Descarga Capítulo 1 y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Capítulo 1 Ondas Las oscilaciones armónicas y las ondas juegan un papel importantísimo en toda la teoría electromagnética de la luz. En este primer capítulo examina- mos el comportamiento de estas funciones sinusuidales y desarrollamos las técnicas más básicas para manejarlas. 1.1 Oscilaciones armónicas Uno de los movimientos más importantes observados en la naturaleza movimiento oscilatorio, que es aquel que se repite periódicamente en inter- valos igualos de tiempo. Un cuerpo en el extremo de un resorte estirado, una vez que se suelta, comienza a oscilar; el movimiento de un péndulo es oscilatorio; los átomos de un sólido están vibrando, etc. Una comprensión del movimiento oscilatorio es esencial para la discusión de las ondas. De todos los movimientos oscilatorios, el más importante con mucho es el armónico, en el cual la variación temporal va con la función s coseno. Este movimiento. además de ser el más sencillo matemáticamente, constituye una aproximación excelente a muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza. Para comprender las ideas esenciales resultará más sencillo si nos centramos de momento en cl caso de una partí La extensión a sistemas más complejos resulta inmediata. Por defiuición, diremos que una partícula que se mueve a lo largo del eje X realiza oscilaciones armónicas (o movimiento armónico simple) cuando su movimiento viene expresado por 1 0 x(t) = acos(ut +6), (1) 4 Capítulo 1. Ondas 1 AAA (a Figura 1.1: a) Movimiento oscilatorio a lo largo del eje Xen función del tiempo. b) El mismo movimiento en función de «ot donde a es la amplitud o máximo desplazamiento de la partícula a partir del origen de oscilación y (wt +6) es la fase. El ángulo é es el valor de la fase en +=0, y fija de manera unívoca la posición de la curva de desplazamiento en el tiempo. Dado que la función coseno se repite cada vez que su argumento se in- crementa en 2r, el movimiento es periódico con un período T = 21/w. La frecuencia y de la oscilación es el número de oscilaciones completas que se repiten en la unidad de tiempo, por tanto y 2. Normalmente suele usarse el parámetro w», denominado frecuencia angular, cuyo significado y ventajas son evidentes El desplazamiento en una oscilación armónica. puede considerarse como la componente X de un vector de amplitud « que rata en torno al origen en el sentido contrario a las agujas del reloj con velocidad angular w y formado en cada instante un ángulo wt+ $ con el eje X.  12. Superposición de dos oscilaciones armónicas 5 Para una oscilación la energía total del sistema. (12) es proporcional al cuadrado de la amplitud A menudo es muy útil trabajar no con la expresión (1.1), sino con su representación compleja. Siempre y cuando nos restrinjamos a operaciones lineales, dicha expresión es la parte real de 500 0 — ae (1.3) A 2 suele lamársele amplitud compleja instantánea, y a la ecuación (1.3) se la conoce como representación compleja de la oscilación. El signo — que precede a dotes una pura convención e igualmente sería admisible el signo +. La elección del signo negativo es casi unánime en todos los textos de mecánica cuántica y será la que seguiremos en todo el curso. En cualquier caso, siempre se debe ser consistente con la elección hecha. Alora puede interpretarse la oscilación como la proyección sobre el eje real de un vector complejo a; que rota con velocidad angular w. 1.2 Superposición de dos oscilaciones armónicas 1.2,1 Igual dirección Consideremos ahora la superposición de dos uscilaciones arménicas en la mi ma dirección y ambas de la misma frecuencia. El desplazamiento producido por cada oscilación está dado por 2 = 01 cos(wt+6), (14) za = acos(wt+ éz) El desplazamiento total resultante puede ponerse, utilizando represen- tación compleja, como e == O pajerivtea) (mena ¿89 | ¿—iut = (me ae Je A (1.5) que podrá escribirse como E (16) 6 Capítulo 1. Ondas Identificando términos ac (acá je), (17) e igualando módulos y argumentos obtenemos al = al+aj+2aja2cos(ó2 — 61), (18) as sinó + agsinóz 1 cosó1 | a2cos da" Consideremos algunos casos partienlares de especial importancia. Si $, = 62, entonces cos(éz — 61) = 1, las dos oscilaciones se dice que están en fase. Su vectores rotantes son paralelos y entonces tand = a = uta (1.9) 0 = 5=b es decir, las dos oscilaciones interfieren constructivamente y sus amplitudes 5e suman. igura 1.3: Composición de dos oscilaciones en fase Si 6, = ó1-+1, entonces cos(6¿—61) = —1 y se dice que ambas oscilaciones están en oposición de fase. Así, si 41 > 42 a = m-d, (1.10) 0 = b=8-" 1.3. Ondas viajeras n Z cs > e E E Ea Figura 1.7: Polarización elíptica para diversos valores de La diferencia de fase 5 De hecho, no es difícil ver que para polarización elíptica. dextrógira, y/2 presenta parte imaginaria negativa, mientras que para elíptica levógira la parte imaginaria es positiva. Cuando la particula describe una oscilación en tres dimensiones; es de- cir, su trayectoria viene dada por r(/) = (x(1), (1). 2(0)), siendo cada com- ponente cartesiana a. su vez oscilatoria, es un sencillo ejercicio comprobar que Hi) x v(1) =0 (1:33) siendo v la velocidad de la particula y e un veclor constante relacionado con la amplitud original del movimiento y con su frecuencia. Esta ley de con servación es análoga a la de conservación del momento angular en mecánica dlásica y garantiza que toda la trayectoria yace en un plano perpendicular al vector e, siendo aplicable todo lo anterior a este caso. 1.3 Ondas viajeras Consideremos una cierta perturbación escalar u que se propaga en la di rección positiva del eje X con velocidad constante p. Dicha perturbación puede representar el desplazamiento vertical de una cuerda, la magnitud del campo eléctrico asociado con una oxda electromagnética, la amplitud de probabilidad en mecánica cuántica, etc. Dado que la perturbación se propaga debe ser función de 7 y t; es decir u= f(=,t). La forma de la perturbación en 1 =0, uz, t=0)= fí2,0) = F(2), representa el perfil inicial (equivalentomente, supone tomar una foto- 12 Capítulo 1. Ondas Figura 1.5: Sistema de referencia móvil grafía del sistema en dicho instante). También podemos anclarnos en un punto cualquiera dol espacio (por ejemplo. ol origen) y estudiar la evolución temporal de la perturbación en dicho punto 12 = 0,1) = /(0,1)= /(1). Supongamos una “doble foto” tomada en los instantes 0 y 1, Obviamente, si la perturbación no se deforma se habrá movido una distancia En un sistema de referencia 5” que viaja con la perturbación a velocidad v, ésta permanece constante, de modo que 4 no es función del tiempo u= Ja): (134) siendo 2* la coordenada medida 5”. Es evideme que ot. (1.35) Así pues, para que la perturbación viaje rígidamente se tiene que dar u(e,1) = fa vt), (1.361 que también se escribe a veces como Y u(a,1) = (2-0) = s(= :) =p E] (Lam Vu) Podemos comprobar explícitamente que el valor de u no cambia tras 11 intervalo de tiempo A? con el correspondiente cambio en y de vAt: fía —vt) (as f [í2+ val) - v(t+At)] de forma que el perfil permanece inalterado. La ecuación (1.36) representa la forma más general de una onda unidimensional.  1.3, Ondas viajeras 3 Análogamente, si la perturbación se propagase en el sentido negativo de las. X deberíamos tener u(x,t)= gr + vt). (1.39) Las ecuaciones (1.36) y (1.39) pueden considerarse las ecnaciones fini- tas de la propagación. Para hallar la ecuación diferencial del movimiento introduzcamos primero las coordenadas vi, q=z4ot, (1.40) p= Tenemos entonces 10. e=P0 (141) m==uf(p) =P) Combinando los resultados para las derivadas segundas (un razonamiento análogo se podría haber hecho usando la variablo q) llegamos a que la. per- turbación u debe verificar la siguiente ecuación en derivadas parelales Mes — za = 0, (1.42) que es la denominada ecuación de ondas en 141 dimensiones. Generali- zando al caso de 1 +3 dimensiones, la ecuación que debe verificar cualquier perturbación escalar será. UL =0, (1.43) siendo V? el operador laplaciano. Estudiaremos a continuación algunas so luciones particulares de esta ecuación 1.3.1 Ondas planas Sea r el vector de posición de un punto Pen el espacio y s = (3,,y 82) un vector unitario en una dirección prefijada. Cualquier solución de (1.43) de la forma. u=ule-s,/) (14d) se lama onda plana, puesto que en cada instante ile tiempo la perturbación toma el mismo valor constanto sobre las superficies rs = constante (1.45) 14 Capítulo 1. Ondas Figura 1.9 la direro Sistema de referencia para una onda, plana que se mueve según que son planos perpendiculares a la dirección de s. Es conveniente introducir un nuevo sistema de coordenadas O£, Om, OG en el cual OG coincide con la dirección de s En tal sistema (1.46) y se tiene que 0,0, ,0%0 da 010€ d20n | 020% (1.47) dado que vaa actuar tan sólo sobre funciones exclusivamente de. De manera análoga (1.48) con lo cual e 1,49) =3 (Las de forma que (1.43) equivale a Un — 0 =0 (1.50) que es una ecuación unidimensional. cuya solución general será a) = EW) +glE+ et) = [res vt) y gros hot). (13) Vemos por tanto que f permanece constante si (£,1) se reemplaza por ((+ ur,t+ 7), siendo 7 un tierpo arbitrario. En consecuencia, representa una. perturbación que se propaga con velocidad v en la dirección do € positiva. 1.3. Ondas viajeras 15 1.3.2 Ondas esféricas Consideremos ahora el operador laplaciano en coordenadas esféricas (1,9. 0). Su forma explícita es 1970 Dr e A A e ge E 52) a >) PAN in877) a Cuando la perturbación presenta simotría esférica; es decir, u = 1(r,£), la ecuación de ondas (1.43) se convierte en IS Un Ahora bien, el término entre paréntesis es justamente ¿£(ru); por tanto, (1.53) equivale a 2 (1:54) cuyas soluciones son ales ab GEO! ñ (rt) = 3 (1,55) En esta ecuación, el primer sumando representa una onda esférica que diverge desde el origen, mientras que el segundo representa una onda esférica que converge al origen, arubas con velocidad v. 1. Ondas armónicas. Velocidad de fase Como acabamos de ver, cualquier función de aL ut es solución de la ecuación de ondas unidimensional. Fijado un punto del espacio ry la perturbación es una. función exclusiva del Liempo ulrot)= ft). (1.56) Como ya hemos justificado en la sección anterior, el caso en que F(£) seauna función armónica periódica en el tiempo es de especial importancia. Por ello diremos que una onda es armónica si Fi) = acosfut 4 6) (1.57) 16 Capítulo 1. Ondas 1.10: Frentes de oda para una onda arménica plana Consideremos primero el caso de uma onda plana y armónica que se propaga en la dirección dol vec Su forma explicita se obtendrá de (1.57) reemplazando t por t— a (Sy u(r.1) =«cos a (1.58) a Es evidente que (1.58) permanece inalterada cuando y -s cambia en A donde Ars ar (1.59) w siendo T el período de la oscilación. Este período espacial se llama longitud de onda. Es útil introducir el vector k en la dirección s de propagación, cuyo ruódulo vale 2% A y que se conoce como vector de ondas. A veces, se usa tambián el concepto de camino óptico que es la distancia que tiene que avanzar un frente de ondas para que la. fase varie justamente en $ 60) mA dE (L61) 1.4. Superposición de ondas 2 Figura 1.13: Ondas estacionarias siendo T el período. Existen valores del tiempo para los cuales la estacionaria es nula en todo punto, son aquellos en que 1 =T/4,37/4,.... diferencia de lo que ocurre en mua onda viajera, en una onda esta- cionaria no se transmite energía. Toda la energía del sistema se emplea en sustentar las oscilaciones entre nodos. Si las ondas constituyentes presen sen un desfase relativo entre ambas (como sería de esperar en una reflexión no ideal), existiría un ángulo de desfase en (1.77) que desplaza la posición de los nodos, aunque no su separación, El resto de los fenómenos considerados seguiría siendo válido. 1.4.3 Paquete de ondas; Velocidad de grupo Como ya hemos indicado anteriormente una onda plana infinitamente larga en el tiempo y en el espacio no es apta para transuitir señales, pues una señal implica algo que empieza en un cierto Justante y termina un cierto tiempo más tarde. Una señal finita en el tiempo no es armónica, puesto que debe contener varias frecuencias. Por ello, el interés de considerar el problema de la superposición de ondas de distinta frecuencia, Para ilustrar el problema, consideremos la superposición de dos ondas Planas de igual amplitud y frernencia y número de onda próximos, que se 2 Capítulo 1. Ondas 28 8 da (e E Figura 1.14: Un grupo de ondas propagan según el eje X ui (k—6k)el + 0exp—i [lod (44 04] (1,80) u(z,t) = a.exp—i (ue Operando se tiene u(=,1) = 2a cos(dwt — Ea) exp ios = rel (1.81) Este resultado es fácil de interpretar: Se trata de wna onda plana de frecuencia w» y longitud de onda 25/X (siendo ws y / la frecuencia y numero de onda promedios), pero con na amplitud no constante, lo que origina los fenómenos de las pulsaciones. Los máximos sucesivos de la amplitud se dan cuando 2 2 t=E (fio). de (t Ajo). (1.82) mientras que los de la fase se dan para 2r E (xñjo) , $2 (Kio), (1.83) y como £ «1,2 € 1, la amplitud varía muy lentamente comparada con el término oscilante. 1.4. Superposición de ondas 23 Los planos de fase constante se propagan a una velocidad (1.84) pero los máximos de amplitud (es decir, e: pulso como un todo) se propagan ala velocidad Ea 5 ac (1.85) que es la Mamada velocidad de grupo. Si recordamos que w» = ku, se tiene que (1.86) es decir, cuando la velocidad de fase es independiente de la longitud de onda dey/dk =0 y las velocidad de fase y de erupo colnciden. Pero existen medios llamados dispersivos. en los cuales cada longitud de onda se propaga con su propia velocidad de propagación, En estos medios la velocidad de fase y de grupo no coinciden, y la velocidad de la: señal coincide con la velocidad de grupo. Las consideraciones anteriores pueden generalizarse fácilmente al caso de na superpo: nfinita de ondas monocromáticas que se propagan en la dirección del eje X ys ná des afin (1:87) De especial interés en la práctica es el caso en que las amplitudes de Fourier son no nulas sólo en un intervalo de pequeño de frecuencias en torno a una central y (1.88) en cuyo caso la onda resultante dícese cuasimonocromática y se habla de un paquete de ondas. En tal caso (1.87) so reduce a ue.) = / de ajja ie 1.89) (2.1) d, , ) (1.89) que puede reeseribirse como ale, t) = ala, 0 (1.90) siendo ale,t f ¿ataca f_duatuje" la ES 24 Capítulo 1. Ondas Figura 1.15: As jecto del y ¡po de pudas con a(u) = constante = J disalcoje al La velocidad con que avanzas las superficies de amplitud constante viene dada, según (1.91) por Dl (1.91) (1.92) Para hacerse una idea espacial del resultado sería necesario integrar en (1.91), para lo cual se precisa conocer explícitamente a(ws). Supongamos, por sencillez, que (e) = ay = constante, lo que equivale a construir Un grupo con ondas todas de la misma amplitud. Como, según (1.87), en 2 =0,2=0, todas están on fase, cl grupo tendrá la estructura de la ig. 1.15, y se compo- sición dará un máximo de gran amplitud en el origen que decae fuertemente al apartarse del origen, pues el promedio resultante se va haciendo uulo de- bido al desfase de cada una de las ondas. Analíticamente, la integral para, este caso da sin [Su (1- E) u(z,t) = dy (1.93) q cuyo aspecto confirma el anterior razonamiento cualitativo.