Resumen Formulas, Ejercicios de Estadística Descriptiva

¡Descarga Resumen Formulas y más Ejercicios en PDF de Estadística Descriptiva solo en Docsity! 1 FORMULARIO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TEMA 1 ..................................................................................................................................................................... 3 MEDIDAS DE POSICIÓN .................................................................................................................................. 3 MEDIA ................................................................................................................................................................ 3 MEDIA ARITMÉTICA ................................................................................................................................. 3 MEDIA ARMÓNICA .................................................................................................................................. 3 MEDIA GEOMÉTRICA .............................................................................................................................. 3 MEDIA CUADRÁTICA.............................................................................................................................. 3 MEDIA PONDERADA ............................................................................................................................... 3 MEDIANA .......................................................................................................................................................... 4 MODA ................................................................................................................................................................ 4 CUANTILES ...................................................................................................................................................... 4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN .............................................................................................................................. 5 MEDIDAS ABSOLUTAS ................................................................................................................................. 5 RECORRIDO O RANGO ........................................................................................................................ 5 RECORRIDO INTERCUARTÍLICO ....................................................................................................... 5 DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA ........................................ 5 DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIANA ............................................................. 5 VARIANZA ................................................................................................................................................... 5 DESVIACIÓN TÍPICA ................................................................................................................................ 5 MEDIDAS RELATIVAS ................................................................................................................................... 5 COEFICIENTE DE APERTURA ............................................................................................................... 5 RECORRIDO RELATIVO ......................................................................................................................... 5 RECORRIDO SEMI-INTERCUARTÍLICO ............................................................................................ 5 COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON ................................................................................ 5 ÍNDICE DE DISPERSIÓN RESPECTO DE LA MEDIANA ................................................................ 5 MOMENTOS .................................................................................................................................................... 6 RELACIÓN ENTRE MOMENTOS.......................................................................................................... 6 MEDIDAS DE FORMA ........................................................................................................................................ 7 MEDIDAS DE ASIMETRÍA (coeficientes que miden la asimetría) ........................................................ 7 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER ......................................................................................... 7 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON ................................................................................... 7 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE BOWLEY .................................................................................... 7 COEFICIENTE ABSOLUTO DE ASIMETRÍA ..................................................................................... 7 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS .................................................................................... 8 COEFICIENTE DE CURTOSIS DE FISHER .......................................................................................... 8 COEFICIENTE DE CURTOSIS DE KELLEY ......................................................................................... 8 2 TEMA 2 ..................................................................................................................................................................... 9 DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS ....................................................................................................... 9 ERROR CUADRÁTICO MEDIO ................................................................................................................. 9 RECTAS DE REGRESIÓN .................................................................................................................................. 9 REGRESIÓN HIPERBÓLICA ......................................................................................................................... 9 REGRESIÓN EXPONENCIAL ...................................................................................................................... 9 REGRESIÓN POTENCIAL ......................................................................................................................... 10 REGRESIÓN PARABÓLICA ...................................................................................................................... 10 RAZÓN DE CORRELACIÓN ....................................................................................................................... 10 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL ....................................................................................... 10 RELACIÓN ENTRE CARACTERES CUALITATIVOS ............................................................................. 10 ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES NOMINALES ........................................................................ 10 COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN .................................................................................................... 10 COEFICIENTE DE CONTINGENCIA ........................................................................................... 10 CUADRADO MEDIO DE CONTINGENCIA ............................................................................. 10 COEFICIENTE DE CONTINGENCIA DE PEARSON ............................................................... 10 COEFICIENTE DE CONTIGENCIA DE TSCHUPROW .......................................................... 11 ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES ORDINALES ......................................................................... 11 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS .................................................................... 11 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS DE SPEARMAN................................. 11 COEFICIENTES DE KENDALL ........................................................................................................ 12 TEMA 3 .................................................................................................................................................................. 13 ÍNDICES SIMPLES ............................................................................................................................................. 13 ÍNDICES COMPUESTOS ................................................................................................................................ 13 ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS ............................................................................................ 13 INDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA ARITMÉTICA .......... 13 ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA GEOMÉTRICA ........ 13 ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA ARMÓNICA ............ 13 ÍNDICES COMPUESTOS PONDERADOS BASADOS EN LA MEDIA AGREGATIVA ........ 13 ÍNDICES COMPUESTOS SIN PONDERAR .......................................................................................... 14 ÍNDICE DE SAUERBECK O DE LA MEDIA ARITMÉTICA .......................................................... 14 ÍNDICE DE BRADSTREET Y DUROT O DE LA MEDIA AGREGATIVA ................................. 14 ÍNDICES DE LASPEYRES, PAASCHE Y FISCHER .................................................................................... 14 ÍNDICE DE LASPEYRES .............................................................................................................................. 14 ÍNDICE DE PAASCHE ................................................................................................................................ 14 ÍNDICE DE FISHER O IDEAL.................................................................................................................... 14 ÍNDICES DE PRECIOS, DE CANTIDADES Y DE VALOR .................................................................... 15 ÍNDICES DE LASPEYRES ............................................................................................................................ 15 ÍNDICE DE PRECIOS.............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE CANTIDADES ................................................................................................................... 15 ÍNDICES DE PAASCHE .............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE PRECIOS.............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE CANTIDADES ................................................................................................................... 15 ÍNDICES DE FICHER O IDEALES ............................................................................................................ 15 ÍNDICE DE PRECIOS.............................................................................................................................. 15 ÍNDICE DE CANTIDADES ................................................................................................................... 15 DEFLACIÓN DE SERIES DE ÍNDICES ........................................................................................................ 16 5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS ABSOLUTAS RECORRIDO O RANGO 𝑅𝑒 = 𝑥 − 𝑥 RECORRIDO INTERCUARTÍLICO 𝐼 = 𝑄 − 𝑄 DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA 𝐷 ̅ = 𝑓 |𝑥 − ?̅?| = ∑|𝑥 − ?̅?|𝑛 𝑛 DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO DE LA MEDIANA 𝐷 = 𝑓 |𝑥 − 𝑀𝑒| = ∑|𝑥 − 𝑀𝑒|𝑛 𝑛 VARIANZA 𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝒙𝟐 = 𝑓 (𝑥 − ?̅?) = ∑ 𝑛 (𝑥 − ?̅?) 𝑛 = ∑ 𝒙𝒊 𝟐𝒏𝒊 𝒏 − 𝑿𝟐 DESVIACIÓN TÍPICA  = +  MEDIDAS RELATIVAS COEFICIENTE DE APERTURA 𝐶 = 𝑥 𝑥 RECORRIDO RELATIVO 𝑅 = 𝑅 ?̅? = 𝑥 − 𝑥 ?̅? RECORRIDO SEMI-INTERCUARTÍLICO 𝑅 = 𝑄 − 𝑄 𝑄 + 𝑄 COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON 𝐶𝑉𝑃 =  |?̅?| ÍNDICE DE DISPERSIÓN RESPECTO DE LA MEDIANA 𝑉 = 𝐷 𝑀𝑒 6 MOMENTOS Sea r un número entero y positivo. Se llama momento de orden r respecto al valor “a” a la cantidad 𝑚. = 𝑓 (𝑥 − 𝑎) = 1 𝑛 𝑛 (𝑥 − 𝑎) Según los valores de “a” se definen dos clases de momentos:  Momentos no centrales, o momentos respecto del origen: en este caso, el valor a = 0, y se denotan por 𝑚 = 𝑓 (𝑥 − 𝑎)  Momentos centrales o momentos respecto de la media aritmética: en este caso, el valor a = ?̅?, y se denotan por 𝜇 = 𝑓 (𝑥 − ?̅?) RELACIÓN ENTRE MOMENTOS Momentos centrales en función de los no centrales: 𝜇 = 𝑓 (𝑥 − 𝑚 ) = 𝑓 (−1) 𝑟 𝑡 𝑚 𝑥 = (−1) 𝑟 𝑡 𝑚 𝑓 𝑥 = (−1) 𝑟 𝑡 𝑚 𝑚 Momentos no centrales en función de los centrales y de 𝑚 : 𝑚 = 𝑓 𝑥 = 𝑓 [(𝑥 − 𝑚 ) + 𝑚 ] = 𝑓 𝑟 𝑡 𝑚 (𝑥 − 𝑚 ) = 𝑟 𝑡 𝑚 𝑓 (𝑥 − 𝑚 ) = 𝑟 𝑡 𝑚 𝜇 𝜇 = 𝑚 − 𝑚 𝑚 = 𝜇 − 𝑚 𝜇 = 𝑚 − 3𝑚 𝑚 + 2𝑚 𝑚 = 𝜇 + 3𝜇 𝑚 + 𝑚 𝜇 = 𝑚 + 4𝑚 𝑚 + 6𝑚 𝑚 − 3𝑚 𝑚 = 𝜇 + 4𝜇 𝑚 + 6𝜇 𝑚 + 𝑚 7 MEDIDAS DE FORMA MEDIDAS DE ASIMETRÍA (coeficientes que miden la asimetría) Dada una variable estadística X, se entiende por asimetría de X a la falta de simetría respecto del eje vertical x = x . Diremos, pues, que una distribución es simétrica si la perpendicular que pasa por la media aritmética divide al diagrama diferencial (histograma, en el caso continuo; o diagrama de barras, en el caso discreto) en dos partes iguales. Esto equivale a decir que a ambos lados de ese eje, y equidistantes de él, hay pares de valores/intervalos con la misma frecuencia. De lo contrario, diremos que es asimétrica. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER 𝛾 = 𝜇  = 𝑚 − 3𝑚 𝑚 + 2𝑚  𝜇 = ∑ 𝑛 (𝑥 − ?̅?) 𝑛 𝛾 (𝑋) = 𝜇 𝜎 = 𝑓 𝑥 − ?̅? 𝜎  Si 𝛾 (𝑋) < 0 la distribución es asimétrica por la derecha o positiva.  Si 𝛾 (𝑋) > 0 la distribución es asimétrica por la izquierda o negativa.  Si la distribución es simétrica, entonces 𝛾 (𝑋) = 0. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON 𝐴𝑝 = ?̅?𝜇  = ?̅? − 𝑀𝑜  𝐴𝑝 = 3(?̅? − 𝑀𝑒)  Tiene la misma interpretación que 𝛾 (𝑋). COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE BOWLEY 𝐴 = (𝑄 − 𝑀𝑒) − (𝑀𝑒 − 𝑄 ) (𝑄 − 𝑀𝑒) + (𝑀𝑒 − 𝑄 ) = 𝑄 + 𝑄 − 2𝑀𝑒 𝑄 − 𝑄 COEFICIENTE ABSOLUTO DE ASIMETRÍA 𝐴 = 𝑄 + 𝑄 − 2𝑀𝑒 ?̅? 10 REGRESIÓN POTENCIAL 𝑌 = 𝑎𝑋 𝑏′ =   𝑎 = 𝑦′ − 𝑏𝑥′ REGRESIÓN PARABÓLICA 𝑦 = 𝑎 + 𝑎 ?̅? + 𝑎 ?̅? ф(𝑎 , 𝑎 , 𝑎 ) = 𝑦 − 𝑎 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥 RAZÓN DE CORRELACIÓN Coincide con el producto de los coeficientes de correlación, o pendientes de las dos rectas. ɳ = 1 −   =   = 𝒓𝟐 = 𝜎 𝜎 𝜎 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL 𝒓 = 𝜎 𝜎 𝜎 RELACIÓN ENTRE CARACTERES CUALITATIVOS ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES NOMINALES COEFICIENTES DE ASOCIACIÓN COEFICIENTE DE CONTINGENCIA  = (𝑛 − 𝑛 ) 𝑛 Está comprendida entre 0 ≤  ≤ n · min {p − 1, q − 1}. CUADRADO MEDIO DE CONTINGENCIA 𝜑 =  𝑛 = 1 𝑛 𝑛 𝑛 − 1 Tanto este como el coeficiente de contingencia no pueden ser nunca negativos. Si los atributos fuesen independientes, ambos serían nulos. COEFICIENTE DE CONTINGENCIA DE PEARSON 𝐶 =  𝑛 +  = 𝜑 1 + 𝜑 El limite superior es y, en cualquier caso, varía entre 0 y 1. 11 COEFICIENTE DE CONTIGENCIA DE TSCHUPROW 𝑇 = 𝜑 (𝑘 − 1)(𝑝 − 1) Está comprendido entre 0 y 1. ASOCIACIÓN ENTRE CARACTERES ORDINALES COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS DE SPEARMAN Si designamos por A y B los criterios de ordenación y por 𝑥 e 𝑦 sus rangos correspondientes, el coeficiente de correlación por rangos de Spearman se obtendrá facilmente a partir del coeficente de correlación lineal. 𝑟 = 1 𝑛 ∑ (𝑥 − ?̅?)(𝑦 − 𝑦) 1 𝑛 ∑ (𝑥 − ?̅?) 1 𝑛 ∑ (𝑦 − 𝑦) = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑦 − ?̅?𝑦 𝜎 𝜎 Teniendo en cuenta que tanto 𝑥 como 𝑦 son rangos, se tiene: 𝑥 = 𝑦 = 1 + 2+. . . +𝑛 = 1 + 𝑛 2 𝑛 𝑥 = 𝑦 = 1 + 2 +. . . +𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6 y, por tanto ?̅? = 𝑦 = 1 + 𝑛 2 𝑛 𝑛 = 1 + 𝑛 2 (𝑥 − ?̅?) = (𝑦 − 𝑦) = 𝑥 − (∑ 𝑥 ) 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6 − 1 + 𝑛 2 𝑛 𝑛 = 𝑛 − 𝑛 12 12 Por otra parte, si denotamos por 𝑑 = 𝑥 − 𝑦 , y teniendo en cuenta que es este caso ?̅? = 𝑦 , se tiene 𝑑 = (𝑥 − 𝑦 ) = [(𝑥 − ?̅?) − (𝑦 − 𝑦)] = (𝑥 − ?̅?) + (𝑦 − 𝑦) − 2 (𝑥 − ?̅?) − (𝑦 − 𝑦) de donde (𝑥 − ?̅?) − (𝑦 − 𝑦) = 𝑛 − 𝑛 12 + 𝑛 − 𝑛 12 − ∑ 𝑑 2 = 𝑛 − 𝑛 12 − ∑ 𝑑 2 con lo que el coeficiente de correlación por rangos de Spearman será 𝜌 = 1 − 6 ∑ 𝑑 𝑛 − 𝑛 Al coeficiente de correlación por rangos de Spearman también se le demomina coeficente de correlación ordinal y varía entre -1 y 1. COEFICIENTES DE KENDALL 𝑖 < 𝑗  𝑦∗, 𝑦∗ = 𝑓(𝑥) = 1, 𝑠𝑖 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 −1, 𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛   𝑆 =  Para j = 2, 3, …, n 𝜏 = 𝑆 𝑛(𝑛 − 1) 2 15 ÍNDICES DE PRECIOS, DE CANTIDADES Y DE VALOR 𝑣 = 𝑣 = 𝑝 𝑞 𝐼 / (𝑣) = 𝐼 / (𝑝)𝐼 / (𝑞) ÍNDICES DE LASPEYRES ÍNDICE DE PRECIOS Es la media aritmética ponderada de los índices simples de precios de los artículos con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es: 𝐿 / (𝑝) = ∑ 𝑝 𝑞 ∑ 𝑝 𝑞 ÍNDICE DE CANTIDADES Es la media aritmética ponderada de los índices simples de cantidades de los artículos con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es: 𝐿 / (𝑞) = ∑ 𝑝 𝑞 ∑ 𝑝 𝑞 ÍNDICES DE PAASCHE ÍNDICE DE PRECIOS Es la media armónica ponderada de los índices simples de precios con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es: 𝑃 / (𝑝) = ∑ 𝑝 𝑞 ∑ 𝑝 𝑞 ÍNDICE DE CANTIDADES Es la media armónica ponderada de los índices simples de cantidades con poderaciones dadas por los valores de la producción de cada artículo en el periodo base, esto es: 𝑃 / (𝑞) = ∑ 𝑝 𝑞 ∑ 𝑝 𝑞 ÍNDICES DE FICHER O IDEALES ÍNDICE DE PRECIOS El índice de precios de Fischer esla media geométrica de los índices de precios de Laspeyres y Paasche, esto es: 𝐹 / (𝑝) = 𝐿 / (𝑝)𝑃 / (𝑝) ÍNDICE DE CANTIDADES El índice de cantidades de Fisher es la media geométrica de los índices de cantidades de Laspeyres y Paasche, esto es: 𝐹 / (𝑞) = 𝐿 / (𝑞)𝑃 / (𝑞) 16 DEFLACIÓN DE SERIES DE ÍNDICES La deflacción es el procedimiento que permite homogeneizar el valor de una cesta de bienes a lo largo del tiempo eliminando el efecto de la inflación, lo que se consigue dividiendo los valores de la desta de bienes por un índice de precios adecuado, conocido como deflactor. Entoces, diremos que hemos traducido una serie de valores monetarios corrientes a valores moneteraios constantes, o valores monetarios constantes, o valores monetarios de un año base, precisamente el año base del índice de precios utilizado como deflactor. Si denotamos por 𝑣 el valor monetario corriente de una cesta de bienes en el año t, esto es, 𝑣 = 𝑝 𝑞 y utilizamos como deflactor un índice de precios de Paasche con base en el año 0, el valor deflaccionado de la cesta de bienes está dado por 𝑣 𝑃 / (𝑝) = ∑ 𝑝 𝑞 ∑ 𝑝 𝑞 ∑ 𝑝 𝑞 = 𝑝 𝑞 = 𝑣 es decir, el valor de la cesta de bienes a precios del año base.