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álgebra lineal.-Rango de una transformación lineal

algebra Lineal - Ingeniería del Software URJC

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CAP´ iTULO 6 Rango de una transformaci´n lineal o En este cap´ itulo definiremos el rango de una transformaci´n lineal, que es un invao riante num´rico que mide el "tama~o" de la imagen. e n ´ Definicion 6.1. Sea T : V W una transformaci´n lineal. Si T (V ) = Im(T ) W o tiene dimensi´n finita, se dice que T tiene rango finito y dim T (V ) se llama el rango o de T y se denota dim T (V ) = r(T ). ´ Definicion 6.2. Sean V y W espacios vectoriales, V y w W . Se define la transformaci´n lineal |w : V W de la siguiente forma: (|w)(v) = (v)w ­ ver o Ejemplo 2.2.38 parte (2). ´ Observacion 6.3. (1) En caso de que la dimensi´n de V o la de W sean finitas, se o deduce que dim T (V ) es tambi´n finita y consecuentemente tiene sentido hablar del rango e de T . La demostraci´n de la finitud en los casos mencionados m´s arriba se deja como o a ejercicio. Puede suceder que dim T (V ) sea finita aunque la dimensi´n de V y de W sean o infinitas como lo muestra el siguiente ejemplo. T : k[X] k[X] T (p) = p (0)(1+X +X 2 ). (2) Si = 0 V y w W es un vector no nulo, es claro que la tranformaci´n lineal o |w : V W tiene rango uno. El lema que sigue generaliza ese resultado. Lema 6.4. Sea T : V W una transformaci´n lineal de rango r y {w1 , . . . , wr } una o base de T (V ). Entonces existen 1 , . . . , r V tales que T = 1 |w1 + · · · + r |wr . ´ Demostracion. Si v V , escribimos T (v) = 1 (v)w1 + · · · + r (v)wr para ciertos escalares 1 (v), . . . , r (v). Estos escalares definen funciones i : V k que son de hecho transformaciones lineales. De ah´ se deduce inmediatamente el resultado. i A continuaci´n daremos un m´todo para calcular el rango de una transformaci´n o e o lineal en t´rminos de la matriz asociada en bases convenientes. e Lema 6.5. Sean S : V V , T : V W y R : W W transformaciones lineales. Si S y R son invertibles, entonces si el rango de T es finito tambi´n lo es el rango de e RT S y adem´s r(T ) = r(RT S). a ´ Demostracion. r(RT S) = dim RT S(V ) = dim RT (V ) = dim T (V ) = r(T ). La pen´ltima igualdad es consecuencia de que R es un isomorfismo de donde se deduce u que R|T (V ) : T (V ) R T (V ) es tambi´n un isomorfismo. e Corolario 6.6. Sea T : V W una transformaci´n lineal entre espacios de dio mensi´n finita. Si B y C son bases de V y W respectivamente, entonces r(T ) = r LC [T ]B o ­ recordar que LC [T ]B : kn km , donde n y m son las dimensiones de V y W respectivamente. 55 56 ´ 6. RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL ´ Demostracion. Este resultado se deduce inmediatamente del lema anterior y del hecho de que LC [T ]B = cC T c-1 , donde cC y cB representan los mapas coordenados. B Hemos reducido el problema de calcular el rango de una transformaci´n lineal T al o de calcular el rango de una transformaci´n lineal de la forma LA . Este ultimo rango se o ´ calcula de la siguiente forma. ´ Definicion 6.7. (1) Sea A Mm×n y llamemos cj (A), j = 1, . . . , n a los vectores de km definidos por las columnas de A. En forma similar se definen fi (A), i = 1, . . . , m a los vectores de kn definidos por las filas de A. Por razones mnemot´cnicas representamos e a los cj (A) como vectores columna y a los fi (A) como vectores fila. (2) Se define el rango por columnas de la matriz A ­ y se denota como rc(A) ­ como la dimensi´n del subespacio de km formado por los vectores cj (A), j = 1, . . . , n. En forma o parecida se define se define el rango por filas de la matriz A ­ y se denota como rf(A) ­ como la dimensi´n del subespacio de kn formado por los vectores fi (A), i = 1, . . . , m. o ´ Observacion 6.8. Se puede probar (lo haremos m´s adelante, ver Corolario 8.??), a que si A es una matriz arbitraria el rango por filas de A coincide con el rango por columnas de A. Lema 6.9. Sea A Mm×n y LA : kn km la correspondiente transformaci´n lineal. o Entonces LA (kn ) = c1 (A), . . . , cn (A) y r(LA ) = rc(A). ´ Demostracion. El resultado se deduce directamente del siguiente hecho: si j = 1, . . . , n entonces LA (ej ) = cj (A). ´ Observacion 6.10. (1) Teniendo en cuenta que los rangos por filas y por columnas de una matriz arbitraria son iguales (como se ver´ mas tarde) el teorema anterior tiene a tambi´n una versi´n "por filas". e o (2) En particular se deduce de lo anterior que si C y D son matrices invertibles, entonces el rango por columnas de la matriz CAD coincide con el rango por columnas de A. Teniendo en cuenta la igualdad del rango por filas y por columnas de una matriz, vale un resultado an´logo para los rangos por filas. a (3) En definitiva, hemos probado que si T : V W es una transformaci´n lineal entre o espacios de dimensi´n finita, entonces el rango de T coincide con el rango por columnas o de cualquier matriz asociada a T en cualesquiera bases que elijamos. Teniendo en cuenta lo anterior vale un resultado an´logo para el rango por filas. a Ejemplo 6.11. Consideremos la trasformaci´n lineal D : k3 [X] k3 [X] definido o como D(p) = p . Queremos calcular el rango de D. Si B = {1, X, X 2 , X 3 } es la base standard de k3 [X], tenemos que la matriz asociada a D en esa base es B [D]B = Como la primera columna es cero y las otras son m´ltiplos de los vectores e1 , e2 , e3 de la u 4 base can´nica de k , el espacio generado por las columnas de esta matriz, tiene dimensi´n o o tres. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 .

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