Cálculo II - Ejercicios recomendados, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Cálculo II - Ejercicios recomendados y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Departamento de Matemáticas PROBLEMAS DE CÁLCULO II GRADOS DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE TELECOMUNICACION CURSO 2008–2009 Colección elaborada por Arturo de Pablo Domingo Pestana José Manuel Rodŕıguez Elena Romera Índice 1 Cálculo diferencial en varias variables. 1 1.1 Funciones de varias variables. Ĺımites y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Derivadas. Diferenciabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Funciones vectoriales y operadores diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Regla de la cadena y derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Estudio local de funciones de varias variables. 11 2.1 Derivadas de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Extremos de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Integración en IRn 17 3.1 Integral múltiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Cambios de variables en la integral múltiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Integrales de ĺınea y de superficie 25 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Integrales sobre superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Teorema de Green, Stokes y Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 34 5.1 Integrales eulerianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3 Ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Problema 1.8 Estudia los siguientes ĺımites: i) lim (x,y)→(0,0) x x2 + y2 ii) lim (x,y)→(2,4) x + y x− y iii) lim (x,y)→(0,0) xy2 x2 + y2 iv) lim (x,y)→(0,0) tg x y v) lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 vi) lim (x,y)→(0,0) xy2 (x2 + y2)3/2 vii) lim (x,y)→(0,0) y2 x2 − y2 viii) lim(x,y)→(0,0) sen(xy) xy ix) lim (x,y)→(0,0) x3 − y2 x2 + y2 x) lim (x,y)→(0,0) x4 + y4 x2y2 + (x− y)2 . Problema 1.9 Se considera la función f(x, y) = x4 − y x4 − y3 . Los puntos (0, 0) y (1, 1) no pertenecen a su dominio. Estudia si pueden definirse f(0, 0) y f(1, 1) de forma que f sea continua en dichos puntos. Problema 1.10 Estudia la continuidad de las siguientes funciones: i) f(x, y) = { xy x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); ii) f(x, y) =    xy√ x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); iii) f(x, y) =    x4 + x2y − y3√ x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); iv) f(x, y) =    x2 + y3 x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0); v) f(x, y) = x4 − y4 x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0; vi) f(x, y) = x + y2 x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0; vii) f(x, y) = cos(xy) ex + ey ; viii) f(x, y) =    sen(x− y) ex − ey si x 6= y 1 si x = y; ix) f(x, y) =    x2y x4 − y2 si y 6= ±x 2 0 si y = ±x2; 3 x) f(x, y) = { (x + y) sen(1/x) sen(1/y) si xy 6= 0 0 si xy = 0. Indicación: En el apartado viii) saca factor común ey en el denominador. Solución: Son continuas en todos los puntos de IR2 las funciones ii), iii), v), vii). Son continuas en IR2 \ {(0, 0)} las funciones i), iv), vi). El resto de las funciones son continuas sólo en los puntos: viii) ( IR2 \ {y = x}) ∪ (0, 0); ix) IR2 \ {y = ±x2}; x) (IR2 \ {xy = 0}) ∪ (0, 0) ∪( ∪k∈ZZ\{0} {( 1kπ , 0), (0, 1kπ )} ) . Problema 1.11 Sea la función f(x, y) =    x3y x6 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) . i) Calcular el ĺımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las rectas y = λx. ii) Calcular el ĺımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la curva y = x3. iii) ¿Es f continua en (0, 0)? Problema 1.12 Sea ϕ : IR → IR continua con derivada continua, y sea la función f(x, y) =    ϕ(x)− ϕ(y) x− y si x 6= y ϕ′(x) si x = y. Estudia la continuidad de f . Problema 1.13 Sea F : A ⊂ IRn → IRm una función que verifica ||F(x)− F(y)|| ≤ K||x− y||α para todo x,y ∈ A y constantes K > 0 y 0 < α ≤ 1. Demuestra que F es continua en A. 1.2 Derivadas. Diferenciabilidad. Problema 1.14 Calcula la matriz derivada de las siguientes funciones: i) f(x, y) = 3x2 − xy + y ii) f(x, y) = x3e−y iii) f(x, y) = log(x2 + y4) iv) f(x, y) = (g(x))2 h(y) v) f(x, y) = √ 1− (x2 + y2) vi) f(x, y, z) = xey 2 + yez vii) f(x, y, z) = x sen y + y sen z + z sen x viii) f(x, y, z) = sen(x + xy + z2) ix) f(x, y, z) = zxy 2 x) f(x, y, z) = (g(x, y))2(h(x, z))3 xi) f(r, θ) = r2 sen θ + cos2 θ xii) f(ρ, ϕ, θ) = ρ3 senϕ cos θ 4 Problema 1.15 Sea la función f(x, y) =    x2y2 x4 + y4 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Prueba que existen ∂f ∂x (0, 0) y ∂f ∂y (0, 0). ii) Prueba que f no es continua en (0, 0). Problema 1.16 Sea f(x, y) =    2xy x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) i) Demuestra que f no es diferenciable en (0, 0). ii) Demuestra que las derivadas parciales ∂f ∂x y ∂f ∂y existen en (0, 0) pero ∂f ∂x no es continua en (0, 0). Problema 1.17 Sea la función f(x, y) = √ x2 + y2. i) Demuestra que ∂f ∂x no está definida en (0, 0). ii) ¿Es f diferenciable en (0,0)? Problema 1.18 Sea la función f(x, y) =    xy2 x2 + y4 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) . i) Calcular el ĺımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las curvas x = λy2. ii) Calcular las derivadas parciales de f en (0, 0). iii) ¿Es f continua en (0, 0)? Problema 1.19 i) Estudia la continuidad de la función f(x, y) =    x2y4 x2 + y2 (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ii) Calcula las derivadas parciales en (0, 0) y estudia alĺı la diferenciabilidad. Problema 1.20 Sea la función h(x, y) =    x2y2 x4 + y4 , (x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Demuestra que tanto ∂h ∂x (0, 0) como ∂h ∂y (0, 0) existen y sin embargo la función h no es continua en (0, 0). 5 Problema 1.30 Sea una part́ıcula de masa m que se mueve sobre una trayectoria r(t) en IR3 de acuerdo a la ley de Newton, en un campo de fuerza F = −∇V , donde V es una función dada de enerǵıa potencial. i) Demostrar que la enerǵıa total (cinética + potencial) E(t) = 1 2 m||r′(t)||2 + V (r(t)) es constante en el tiempo. ii) Demostrar que si la part́ıcula se mueve sobre una superficie equipotencial, entonces el módulo de la velocidad es constante. Problema 1.31 Demostrar que las siguientes trayectorias satisfacen la relación s′(t) = F(s(t)) para los correspondientes campos (son ĺıneas de flujo) i) s(t) = (t2, 2t− 1,√t), F(x, y, z) = (y + 1, 2, 1 2z ); ii) s(t) = (e2t, 1 t , log t), F(x, y, z) = (2x,−y2, y); iii) s(t) = ( 1 1− t , log t, et 1− t), F(x, y, z) = (x 2, x x− 1 , z(1 + x)). Problema 1.32 Calcula la divergencia y el rotacional de los siguientes campos i) F(x, y) = (3x2y, x3 + y3); ii) F(x, y, z) = (yz, xz, xy); iii) F(x, y, z) = (yz,−xz, xy)/(x2 + y2 + z2). Problema 1.33 Escribe la divergencia y el rotacional de cada uno de los campos siguientes: i) v(x, y) = xi + yj + zk, ii) v(x, y, z) = x x2 + y2 + z2 i + y x2 + y2 + z2 j + z x2 + y2 + z2 k, iii) v(x, y, z) = xi + 2yj + 3zk, iv) v(r) = r−2r, donde r = (x, y, z) (posición) y r = ‖r‖ (distancia al origen). Problema 1.34 Sea x ∈ IRn, x 6= 0, r = ||x|| y k una constante; i) si f(x) = rk, calcula ∇f ; ii) si F(x) = rkx, calcula div F; iii) si F(x) = rkx, y n = 3, calcula rot F; iv) si f(x) = rk, calcula ∆f . Solución: i) krk−2x; iv) k(k + n− 2)rk−2. Problema 1.35 Prueba las siguientes identidades que aparecen en análisis vectorial, si f y F son de clase C2 (esto implica que las derivadas cruzadas son iguales, es decir, ∂2f/∂xi∂xj = ∂2f/∂xj∂xi): 8 i) rot(∇f) = 0; (∇× (∇f) = 0). ii) div(rot F) = 0; (∇ · (∇× F) = 0). iii) ∇(fg) = f∇g + g∇f ; iv) div(fF) = f divF + F∇f ; (∇ · (fF) = f∇ · F + F · ∇f). v) div(f∇g − g∇f) = f∆g − g∆f ; (∇ · (f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f). 1.4 Regla de la cadena y derivadas direccionales. Problema 1.36 Halla la derivada direccional en el punto dado en la dirección indicada: i) f(x, y) = x2 + y3 en (1, 1) en la dirección de (1,−1). ii) f(x, y) = x + sen(x + y) en (0, 0) en la dirección de (2, 1). iii) f(x, y) = xey − yex en (1, 0) en la dirección de (3, 4). iv) f(x, y) = 3x x− y en (1, 0) en la dirección de (1,− √ 3). v) f(x, y, z) = x2y + y2z + z2x en (1,−1, 1) en la dirección de (1,−1, 2). vi) f(x, y) = x2y + xy2 en (1, 1) en la dirección de (−1, 3). vii) f(x, y, z) = log √ x2 + y2 + z2 en (2, 0, 1) en la dirección de (1, 2, 0). viii) f(x, y, z) = ex cos(yz) en (0, 0, 0) en la dirección (2, 1,−2). ix) f(x, y) = 2x3y−3y2 en (2, 1) en la dirección (a,√1− a2). Halla a para que sea máxima. x) f(x, y, z) = xy + yz + zx en (1, 1, 2) en la dirección (10,−1, 2). Solución: ix) a = 12 13 . Problema 1.37 Sea f(x, y) = ex+2y. Halla el conjunto de puntos (x, y) ∈ IR2 tales que la derivada direccional de f en el punto (x, y) en la dirección del vector (4, 3) sea igual a 2e. Solución: {x + 2y = 1}. Problema 1.38 Sea f(x, y) = 1+sen(3x+y). ¿Existe algún vector v ∈ IR2 tal que la derivada direccional de f en el punto (0, 0) en la dirección del vector v sea igual a 1? Solución: v = (0, 1), v = (3/5,−4/5). Problema 1.39 Sea la función f(x, y) = x2 − y2 x2 + y2 . i) Calcula en qué dirección es nula la derivada direccional de f en el punto (1, 1). ii) La misma pregunta para un punto (x0, y0) arbitrario del primer cuadrante. iii) Utiliza el apartado anterior para describir las curvas de nivel de f . Problema 1.40 Consideremos las funciones f(x, y) = (tg y x − x + y, log y + 1 x ) g(t, s) = (t cos s, et, s− 2t) h(u, v, w) = uv2ew F = h ◦ g ◦ f . 9 i) Calcula Df , Dg, Dh, DF . ii) Calcula el plano tangente a la gráfica de F en el punto (1, 0, F (1, 0)). iii) Calcula la derivada direccional de F en ese punto en la dirección de α = (3,−4). Solución: ii) y − z = 1; iii) − 4/5. Problema 1.41 Sea la función f(x, y) =    x2y x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). i) Prueba que f es derivable en (0, 0) en cualquier dirección. ii) Prueba que f no es diferenciable en (0, 0). Problema 1.42 La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la función T (x, y) = ex cos y + ey cosx. i) ¿En que dirección crece la temperatura más rápidamente a partir del punto (0, 0)? ii) ¿En que dirección decrece la temperatura más rápidamente a partir del punto (0, 0)? Problema 1.43 La densidad de una bola de metal centrada en el origen viene dada por la función ρ(x, y, z) = ke−(x 2+y2+z2), k constante positiva. i) ¿En que dirección crece la densidad más rápidamente a partir del punto (x, y, z)? ii) ¿ En que dirección decrece la densidad más rápidamente a partir del punto (x, y, z)? iii) ¿Cuáles son los coeficientes de variación de la densidad en (x, y, z) en las direcciones i, j, k? Problema 1.44 i) Sea h(x, y) = 2e−x2 +e−3y2 la altura de una montaña en la posición (x, y) ∈ IR2. ¿En qué dirección desde (1, 0) se debeŕıa comenzar a caminar para escalar lo más rápido posible? ii) Supongamos que la temperatura en cada punto (x, y, z) ∈ IR3 viene dada por la función T (x, y, z) = e−x + e−2y + e−3z . ¿En qué dirección debe moverse una persona situada en el punto (1,1,1) con el fin de enfriarse lo más rápido posible? Solución: i) (−1, 0). Problema 1.45 i) Dada F(x, y) = (x2 + 1, y2) y G(u, v) = (u + v, u, v2), calcula D(G ◦ F)(1, 1). ii) Calcula mediante la regla de la cadena dh dx donde h(x) = f(x, u(x), v(x)) ∂h ∂x donde h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y), w(x)) ∂h ∂z donde h(x, y, z) = f(u(x,w(y, z)), v(w(y, z), z)) . 10 iii) Si u(x) = f(r), (u es una función radial), prueba que se verifica ∆u = f ′′(r) + n− 1 r f ′(r). Problema 2.6 Demuestra que u(x, y) = x2y2 x + y satisface la ecuación diferencial: x ∂u ∂x + y ∂u ∂y = 3u. Problema 2.7 Demuestra que u = x2y + y2z + z2x satisface la ecuación diferencial: ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z = (x + y + z)2. Problema 2.8 Demuestra que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace: ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = 0 i) f(x, y) = x3 − 3xy2, ii) f(x, y) = e−y cosx, iii) f(x, y) = log √ x2 + y2. Problema 2.9 Demuestra que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de ondas: ∂2f ∂t2 − c2 ∂ 2f ∂x2 = 0 i) f(x, t) = (Ax + B)(Ct + D). ii) f(x, t) = g(x− ct) donde g es cualquier función dos veces derivable. Problema 2.10 Encuentra soluciones del tipo f(x, t) = cos(kx − ωt) de las ecuaciones en derivadas parciales (k, ω son constantes): i) ∂2f ∂t2 = c2 ∂2f ∂x2 , (ecuación de ondas, con c constante); ii) ∂2f ∂t2 = c2 ∂2f ∂x2 − h2f, (ecuación de Klein–Gordon, con c, h constantes). Problema 2.11 Encuentra soluciones del tipo u(x, t) = e−λt sen kx de la ecuación (λ, k son constantes) ∂u ∂t = µ ∂2u ∂x2 , (ecuación del calor, con µ constante). Problema 2.12 Encuentra soluciones del tipo v(x, t) = λ sech2(kx−ωt) de la ecuación (λ, k, ω son constantes) ∂v ∂t + ∂3v ∂x3 + v ∂v ∂x = 0, (ecuación K-dV, con v constante). 13 Problema 2.13 Considera la ecuación de ondas ∂2f ∂t2 = c2 ∂2f ∂x2 (c es una constante). i) Demuestra que el cambio de variables f(x, t) = u(ξ, η), con ξ = x + ct, η = x − ct, la convierte en la ecuación ∂2u ∂η∂ξ = 0. ii) Comprueba entonces que dado cualquier par de funciones ϕ1 y ϕ2 de una variable (derivables dos veces), la función f(x, y) = ϕ1(x + ct) + ϕ2(x − ct) es solución de la ecuación de ondas. iii) Esboza la gráfica de f si ϕ1(ξ) = { 1 + cos ξ si |ξ| ≤ π 0 si |ξ| > π , ϕ2(η) = 0. Problema 2.14 Para la ecuación ∂u ∂t + 3 ∂u ∂x = 0, i) demuestra que u(a + 3t, t) es constante para cada a ∈ IR; ii) si u(x, 0) = x2, calcula u(5, 1). Solución: ii) 4. Problema 2.15 En la teoŕıa de la relatividad de Einstein, se define la transformación de Lorentz mediante f(x, t) = u(ξ, η), con { ξ = γ (x− vt) η = γ ( t− v c2 x ) , donde γ = (1− v2/c2)−1/2, v ∈ IR. i) Calcula la matriz jacobiana de la transformación. ii) Comprueba que la transformación de Lorentz deja invariante la ecuación de ondas, es decir, ∂2f ∂t2 − c2 ∂ 2f ∂x2 = 0 ⇐⇒ ∂ 2u ∂η2 − c2 ∂ 2u ∂ξ2 = 0. 2.2 Extremos de funciones de varias variables. Problema 2.16 Halla los puntos cŕıticos y determina los valores extremos locales de las si- guientes funciones de dos variables: i) f(x, y) = x2 + 2y2 − 4y, ii) g(x, y) = x2 − xy + y2 + 2x + 2y − 6, iii) h(x, y) = 3x2 + 2xy + 2x + y2 − y + 4, iv) k(x, y) = 8x3 − 24xy + y3. Problema 2.17 Calcula los extremos de la función f(x, y) = e−x2+εy2 para ε = 0, 1, −1. Problema 2.18 Calcula los extremos de las siguientes funciones en los recintos que se especi- fican: 14 i) f(x, y) = x3y3 en IR2; ii) f(x, y) = x4y4 en IR2; iii) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 3x− 6y en IR2; iv) f(x, y) = x− y 1 + x2 + y2 en IR2; v) f(x, y) = |x|+ |y| en A = {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}; vi) f(x, y) = x2+2xy+y2 en A = {(x, y) : |x| ≤ 2, |y| ≤ 1} y en B = {(x, y) : x2+y2 ≤ 8}. Solución: i) (x, 0) y (0, y) son puntos de silla (f no tiene máximos ni mı́nimos); ii) (x, 0) y (0, y) son mı́nimos globales (f no tiene máximos); v) (0, 0) es el mı́nimo global y (±1,±1) son los máximos globales; vi) (x,−x) son los mı́nimos globales tanto en A como en B; (2, 1) y (−2,−1) son los máximos globales en A; (2, 2) y (−2,−2) son los máximos globales en B. Problema 2.19 Estudia si las siguientes funciones tienen un extremo (local o global) en el origen (0, 0): i) f(x, y) = x4 + 2xy3 + y4 + 2xy; ii) g(x, y) = { xy + xy3 sen(x/y) si y 6= 0 0 si y = 0. Indicación: En el apartado ii) acércate a (0, 0) por dos rectas distintas, de forma que la función compuesta con las rectas tenga un punto máximo en 0 por una de ellas y un punto mı́nimo en 0 por la otra. Solución: Las dos funciones tienen un punto de silla en (0, 0). Problema 2.20 Sea la función φ : IRn → IR definida por φ(x) = re−r, r = ||x||. i) Halla los extremos locales y globales de φ en los casos n = 1 y n = 2. ii) Estudia la diferenciabilidad de φ en esos puntos. Problema 2.21 Dado el conjunto de pares de valores {(xi, yi), i = 1, . . . , N}, construimos la función de dos variables f(m, b) = N∑ i=1 (yi −mxi − b)2. Encuentra los valores de m y b que minimizan f . (Método de mı́nimos cuadrados para aproximar el conjunto de puntos {(xi, yi)} mediante la recta y = mx + b). 2.3 Extremos condicionados. Problema 2.22 Maximiza x2 + y2 en la curva x4 + 7x2y2 + y4 = 1. Problema 2.23 Maximiza xyz en la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Problema 2.24 Minimiza x + 2y + 4z en la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Problema 2.25 15 Problema 3.3 Sea f : Q = [0, 1] × [0, 1] −→ IR definida por f(x, y) = { 0 0 ≤ x < 1/2 1 1/2 ≤ x ≤ 1 . Prueba que f es integrable y que ∫ Q f = 1 2 . Problema 3.4 i) Prueba, sin resolver la integral, que 4π ≤ ∫ D (x2 + y2 + 1) dx dy ≤ 20π , donde D es el disco de radio 2 centrado en el origen. ii) Sea A el cuadrado [0, 2]× [1, 3] y sea f(x, y) = x2y. Prueba, sin hacer la integral, que 0 ≤ ∫ A f(x, y) dx dy ≤ 48 . iii) Mejora esta última estimación y prueba que 3 ≤ ∫ A f(x, y) dx dy ≤ 25 . Indicación: utiliza una partición de A en cuatro cuadrados iguales. Problema 3.5 En los siguientes casos, calcula de forma aproximada, mediante sumas superi- ores e inferiores, la integral ∫ R f(x, y) dA, donde R = [0, 4]×[0, 2]. Usa una partición formada por ocho cuadrados de lados iguales. Calcula también de forma exacta la integral doble y compara los resultados. i) f(x, y) = x + y ii) f(x, y) = xy iii) f(x, y) = x2 + y2 iv) f(x, y) = 1/[(x + 1)(y + 1)]. Solución: i) 16 < I < 32, (I = 24); ii) 6 < I < 30, (I = 16); iii) 32 < I < 80, (I = 160/3); iv) 77/72 < I < 25/8, (I = log 3 log 5). Problema 3.6 Representa la imagen de f en el cuadrado Q = [0, 1]× [0, 1] y calcula ∫ Q f para los siguientes casos: i) f(x, y) = { 1− x− y si x + y ≤ 1 0 si x + y ≥ 1 ii) f(x, y) = { 1 si x = y 0 en el resto iii) f(x, y) = { x + y si x2 ≤ y ≤ 2x2 0 en el resto iv) f(x, y) = { x2 + y2 si x2 + y2 ≤ 1 0 en el resto. Solución: i) 1/6; ii) 0; iii) (21− 8√2)/40; iv) π/8. Problema 3.7 Demuestra que dos pirámides con la misma base y la misma altura tienen el mismo volumen. Calcula mediante integración dicho volumen. 18 Problema 3.8 Un cono se obtiene uniendo todos los puntos de una región plana S con un punto no situado en el plano de S. Designando por A el área de S y con h la altura del cono, prueba que: i) El área de la sección producida por un plano paralelo a la base y a distancia t del vértice es (t/h)2 A si 0 ≤ t ≤ h. ii) El volumen del cono es 13Ah. Problema 3.9 Calcula ∫ D (x2 + y) dx dy, donde D = { (x, y) ∈ IR2 : |x|+ |y| ≤ 1 }. Solución: 1/3. Problema 3.10 Calcula ∫ 1 0 ∫ 1 0 f(x, y) dx dy, donde f(x, y) = max(|x|, |y|). Solución: 2/3. Problema 3.11 Calcula, mediante una integral doble, el área limitada por las curvas y = x, y = 2− x2. Solución: 9/2. Problema 3.12 Determina el recinto de integración y cambia el orden de integración en las siguientes integrales: i) ∫ 3 0 ∫ √25−x2 4x/3 f(x, y)dy dx ii) ∫ 1 0 ∫ y 0 f(x, y)dx dy iii) ∫ π/2 0 ∫ sen(x/2) − sen(x/2) f(x, y)dy dx iv) ∫ e 1 ∫ log x 0 f(x, y)dy dx. Solución: i) {0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ 3y/4} ∪ {4 ≤ y ≤ 5, 0 ≤ x ≤ √ 25− y2}; ii) {0 ≤ x ≤ y, x ≤ y ≤ 1}; iii) {−1/√2 ≤ y ≤ 0, −2 arcsen y ≤ x ≤ π/2} ∪ {0 ≤ y ≤ 1/√2 , 2 arcsen y ≤ x ≤ π/2}; iv) {0 ≤ y ≤ 1, ey ≤ x ≤ e}. Problema 3.13 Sobre el recinto R = {(x, y) ∈ IR2 / x2 + (y − 1)2 ≤ 1, x ≥ 0}, se consideran las funciones f(x, y) = 1√ 1− x2 y g(x, y) = sen(y − 1). Aplica el teorema de Fubini a ∫ R f e ∫ R g en las dos ordenaciones posibles. Calcula las integrales en el orden más adecuado. Solución: ∫ R f = 2, ∫ R g = 0. Problema 3.14 Halla el valor de la integral ∫ π 0 ∫ π x sen y y dy dx . Solución: 2. Problema 3.15 Calcula 19 i) ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 (x2 + y2 + z2) dxdydz, ii) ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 (x + y + z)2 dxdydz. Solución: i) 1; ii) 2. Problema 3.16 Calcula las siguientes integrales en los recintos que se indican: i) ∫ W x3 dV , donde W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1]. ii) ∫ W e−xyy dV , donde W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1]. iii) ∫ W (2x + 3y + z) dV , donde W = [1, 2]× [−1, 1]× [0, 1]. iv) ∫ W zex+y dV , donde W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1]. Problema 3.17 Calcula las siguientes integrales y esboza la región de integración. i) ∫ W x2 cosx dV , donde W es la región limitada por los planos z = 0, z = π, y = 0, y = 1, x = 0 y x + y = 1. ii) ∫ 1 0 ∫ 2x 0 ∫ x+y x2+y2 dz dy dx. Problema 3.18 Halla los volúmenes de las regiones limitadas por: i) z = x2 + 3y2, z = 9− x2. ii) x2 + 2y2 = 2, z = 0, x + y + 2z = 2. Problema 3.19 Demuestra las identidades i) ∫ x 0 ∫ t 0 F (u) dudt = ∫ x 0 (x− u)F (u) du ii) ∫ x 0 ∫ v 0 ∫ u 0 f(t) dtdudv = 1 2 ∫ x 0 (x− t)2f(t) dt. 3.2 Cambios de variables en la integral múltiple. Problema 3.20 Usa una transformación lineal para calcular ∫ S (x−y)2 sen2(x+y) dxdy, siendo S el paralelogramo de vértices (π, 0), (2π, π), (π, 2π) y (0, π). Solución: 13π4/48. Problema 3.21 Calcula ∫ D (y − x) dxdy, siendo D la región del plano limitada por las rectas y = x + 1, y = x− 3, y = (7− x)/3 e y = 5− x/3. Solución: −8. 20 Solución: i) 32π(8− 3√3)/3; ii) 128/3; iii) 1/7; iv) 2π/3; v) 8π; vi) 493π/750; vii) 3/35. Problema 3.33 Calcula el volumen del sólido limitado por las superficies y = z2, 2y = z2, z = x2, 2z = x2, x = y2, 2x = y2. Indicación: Efectúa un cambio de variable de forma que el nuevo recinto de integración sea el cubo [1, 2]3. Solución: 1/7. Problema 3.34 Calcula el volumen del sólido limitado por el elipsoide x2 + y2 4 + z2 9 = 1. Solución: 8π. Problema 3.35 Calcula el volumen del sólido limitado por el elipsoide x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. Estudia el caso particular a = b = c = r. Solución: i) 4πabc/3; ii) 4πr3/3. Problema 3.36 Calcula el volumen comprendido entre el cilindro ρ = 4 cos θ, la esfera ρ2+z2 = 16 y el plano z = 0. (Las ecuaciones están expresadas en coordenadas ciĺındricas.) Problema 3.37 Sea S una región del plano limitada por las curvas que se indican. Calcula la masa y el centro de gravedad de S suponiendo que la densidad es constante: i) y = x2, x + y = 2, ii) y + 3 = x2, x2 = 5− y, iii) y = sen2 x, y = 0, x ∈ [0, π], iv) y = senx, y = cosx, x ∈ [0, π/4]. Problema 3.38 Calcular el momento de inercia respecto del eje vertical del sólido V = { x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ √ x2 + y2 } (suponiendo la densidad constante ρ). Problema 3.39 El cuadrado Q de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) representa una lámina de densidad constante. Calcula el momento de inercia respecto de la recta x = y. Problema 3.40 Sea M el cuadrado [−1, 1]× [−1, 1]. Calcula su masa total suponiendo que la densidad en el punto (x, y) ∈ M es |x− y|. Problema 3.41 Determina las coordenadas del centro de gravedad de la placa M = {(x, y) ∈ IR2 , 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3} cuya densidad viene dada por la función f(x, y) = xy. 23 Problema 3.42 Una placa metálica viene representada por el conjunto del plano: P = {(x, y) ∈ IR2 , |y| ≤ x ≤ 1} y su densidad en P es f(x, y) = y2. Calcula el centro de gravedad y los momentos de inercia con respecto a los ejes. Problema 3.43 Una lámina de espesor despreciable está limitada por la parábola y = 2x−x2 en el intervalo [0, 2]. La densidad en cada punto viene dada por la función f(x, y) = (1−y)/(1+ x). Calcula el área, la masa, el centro de gravedad y los momentos de inercia respecto a los ejes. Problema 3.44 i) Calcula el área del conjunto D = {x = r cos3 t, y = r sen3 t, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ t ≤ π/2} = {x2/3 + y2/3 ≤ 1, x, y ≥ 0}. ii) Calcula las coordenadas del centro de masas de D si tiene densidad 1. Solución: i) 3π/32; ii) xCM = yCM = 256/(315π). Problema 3.45 El primer octante de la esfera x2+y2+z2 = c2 se corta con el plano x a + y b = 1, 0 < a, b ≤ c. Halla la masa de los dos sólidos resultantes sabiendo que la densidad en cada punto es ρ(x, y, z) = z. Solución: abc2/4− a3b/24− ab3/24 y πc4/16− (abc2/4− a3b/24− ab3/24). Problema 3.46 Halla la masa de la lámina correspondiente a la porción del primer cuadrante del ćırculo x2 + y2 ≤ 4, si la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre el punto y el centro del ćırculo. Solución: 4πα/3, donde α es la constante de proporcionalidad. Problema 3.47 La temperatura en los puntos del cubo [−1, 1]3 es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. i) Calcula la temperatura media del cubo. ii) Encuentra en qué puntos del cubo la temperatura coincide con la media. Solución: i) α, donde α es la constante de proporcionalidad; ii) la esfera unidad. Problema 3.48 Calcula el centro de masas de un sólido semiesférico de radio R si su densidad en cada punto es el cuadrado de la distancia del punto al centro. Solución: (0, 0, 5R/12). Problema 3.49 Un helado de cucurucho está formado por un cono de barquillo de ángulo α y una semiesfera de helado de radio R. El cucurucho y el helado tienen densidades constantes ρc y ρh respectivamente. Determina el cociente ρh/ρc para que el centro de masas del helado esté situado en el plano que separa el helado del barquillo. Solución: 3 tg2 α. 24 Problema 3.50 Sea la función I(p, r) = ∫ R dxdy (1 + x2 + y2)p , siendo R el disco de radio r centrado en el origen. ¿Para qué valores de p tiene I(p, r) ĺımite finito cuando r →∞? Solución: πp2−2p/(p− 1) si p > 1. Problema 3.51 i) Calcula la integral ∫ Dr e−(x 2+y2)dxdy, siendo Dr el disco centrado en el origen y radio r. ii) Si Qa,b es el rectángulo [−a, a]× [−b, b], demuestra la estimación ∫ Dr1 e−(x 2+y2)dxdy ≤ ∫ Qa,b e−(x 2+y2)dxdy ≤ ∫ Dr2 e−(x 2+y2)dxdy, para ciertos r1 y r2. iii) Tomando el ĺımite a, b →∞, demuestra la fórmula ∫ ∞ −∞ e−x 2 dx = √ π. iv) Deduce que ∫ IR3 e−x 2−y2−z2dxdydz = π3/2. v) Deduce que ∫ IRn e−‖x‖ 2 dnx = πn/2. Solución: i) π(1− e−r2); ii) r1 = min{a, b}, r2 = (a2 + b2)/4. 4 Integrales de ĺınea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra i) f(x, y) = 2xy2 sobre el primer cuadrante de la circunferencia de radio R. ii) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)2 a lo largo del arco de hélice circular r(t) = (cos t, sen t, 3t), desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 6π). Solución: i) 2R4/3; ii) 2π √ 10(5 + 120π2 + 1296π5)/5. Problema 4.2 Determina la longitud y la masa de un hilo cuya forma es el arco de parábola y = x2 desde (0, 0) hasta (2, 4) y cuya densidad es ρ(x, y) = x. Solución: La longitud es √ 17 + (log(4 + √ 17))/4 y la masa es (173/2 − 1)/12. Problema 4.3 En los ejercicios que siguen, calcula la integral de ĺınea del campo vectorial f a lo largo del camino que se indica: i) f(x, y) = (x2 − 2xy, y2 − 2xy), a lo largo de la parábola y = x2 desde (−1, 1) a (1, 1), 25 Problema 4.15 Determinar a y b de manera que el campo vectorial w(x, y) = e2x+3y ( (a senx + a cos y + cosx), (b sen x + b cos y − sen y) ) sea conservativo, y calcular la función potencial correspondiente. Solución: a = 2, b = 3; ϕ(x, y) = e2x+3y(senx + cos y) + C. Problema 4.16 Considera el campo vectorial F(x, y) = ( log(xy) x , log(xy) y ) , definido para x > 0, y > 0, y sean a > 0, b > 0 dos constantes. i) Calcula ∫ γ F siendo γ el arco de la hipérbola xy = a con x1 ≤ x ≤ x2. ii) Si A es un punto (cualquiera) de la hipérbola xy = a, B es un punto (cualquiera) de la hipérbola xy = b, y γ es una curva (cualquiera) de clase C1, contenida en el primer cuadrante que une A con B, prueba que ∫ γ F = 1 2 log(ab) log(b/a) . Solución: i) F = ∇f , con f(x, y) = 12 ( log(xy) )2 + c, ∫γ F = 0. 4.2 Integrales sobre superficies. Problema 4.17 Calcula el área de las siguientes superficies: i) esfera de radio R; ii) cono circular parametrizado por r(u, v) = (u cos v, u sen v, u), donde 0 ≤ u ≤ a y 0 ≤ v ≤ 2π. iii) porción del paraboloide z = x2 + y2 que se encuentra en el cilindro x2 + y2 = a2; iv) porción del cilindro x2 + z2 = 16 limitada por el cilindro x2 + y2 = 16. Solución: i) 4πR2; ii) πa2 √ 2; iii) π((1 + 4a2)3/2 − 1)/6; iv) 128. Problema 4.18 Halla el área de la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 situada fuera de los cilindros x2 + y2 = ±ax. Problema 4.19 i) Deduce la fórmula del área de la superficie de revolución obtenida al girar la gráfica y = f(x), 0 < a ≤ x ≤ b, alrededor del eje vertical: A = 2π ∫ b a x √ 1 + (f ′(x))2 dx , con la parametrización s(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, f(r)), donde a ≤ r ≤ b y 0 ≤ θ ≤ 2π. 28 ii) Obtén el área de la superficie del toro obtenido al girar la gráfica (x−R)2 +y2 = c2, 0 < c < R. iii) Deduce la parametrización correspondiente para obtener la fórmula análoga en el caso de girar la gráfica y = f(x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje horizontal. Solución: ii) 4π2Rc; iii) s(x, θ) = (x, f(x) cos θ, f(x) sen θ)). Problema 4.20 Sea el conjunto de IR3, W = {1 ≤ z ≤ (x2 + y2)−1/2}. Demostrar que W tiene volumen finito pero su frontera tiene área infinita. Solución: V = π. Problema 4.21 Se consideran la superficie S = { (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 = 1, y ≥ 0 } orientada con la normal exterior a la esfera unidad, y la función F(x, y, z) = (x + z, y + z, 2z). i) Calcula ∫ S F · n. ii) Calcula ∫ S rot F · n. Solución: i) 8π/3; ii) π. Problema 4.22 Calcula ∫ S F ·n en los siguientes casos, donde n denota la normal exterior en los apartados i) iii) iv), y la normal que apunta hacia arriba (con tercera componente positiva) en el apartado ii): i) F(x, y, z) = (x2, y2, z2) y S la frontera del cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1. ii) F(x, y, z) = (xy,−x2, x+z) y S la porción del plano 2x+2y+z = 6 situada en el primer octante. iii) F(x, y, z) = (xz2, x2y − z2, 2xy + y2z) y S la semiesfera superior z = √ a2 − x2 − y2. iv) F(x, y, z) = (2x2 + cos yz, 3y2z2 + cos(x2 + z2), ey 2 − 2yz3) y S la superficie del sólido engendrado por el corte del cono z ≥ √ x2 + y2 y la bola x2 + y2 + z2 ≤ 1. Solución: i) 3; ii) 27/4; iii) 0; iv) 0. Problema 4.23 Halla el momento de inercia respecto de un diámetro de una lámina esférica homogénea de masa m y radio a. Solución: πma4/4. 4.3 Teorema de Green, Stokes y Gauss. Problema 4.24 Calcula ∫ γ (5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy siendo γ el cuadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1), directamente y aplicando el teorema de Green. Solución: 3/2. 29 Problema 4.25 Sea f una función derivable en IR. Sean P (x, y) = ex 2 − y 3 + exy , Q(x, y) = f(y), y γ la frontera del cuadrado [0, 1]× [0, 1] recorrida en sentido positivo. Calcula ∫ γ Pdx + Qdy. Solución: (1− log(e + 3) + log 4)/3. Problema 4.26 Calcula ∫ Γ xy dx + sen2(ecos y) dy, donde Γ es la curva y = e−x2 , para x ∈ (−∞,∞). Indicación: aplica la fórmula de Green a la misma integral sobre la curva ΓR, formada por el segmento (−R,R), la función y = e−x2 en el mismo intevalo, y los segmentos verticales que unen ambos, recorrida en sentido positivo; a continuación toma el ĺımite cuando R →∞. Solución: 0. Problema 4.27 Sean las funciones P (x, y) = y/(x2 + y2) y Q(x, y) = −x/(x2 + y2). Sea C una curva cerrada, regular a trozos, que no pasa por el origen, con C = ∂D. i) Demuestra que ∂Q ∂x = ∂P ∂y . ii) Si (0, 0) ∈ D, prueba que ∫ C P dx + Qdy = ±2π. iii) Si (0, 0) /∈ D, calcula ∫ C P dx + Qdy. Solución: iii) 0. Problema 4.28 Evalúa ∫ γ −y dx + (x− 1) dy (x− 1)2 + y2 , siendo γ una curva cerrada, simple, regular a trozos, que contiene al punto (1,0) en su interior. Solución: iii) ± 2π. Problema 4.29 i) Sea A el área de un dominio D, acotado por C curva cerrada, simple, regular a trozos, y orientada en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). Prueba que A = 1 2 ∫ C −y dx + x dy , y que en coordenadas polares es A = 1 2 ∫ C r2(θ) dθ. ii) Calcula el área interior al bucle que forma la curva parametrizada como s(t) = (t2 − 1, t3 − t). 30 iii) F(x, y, z) = (4xz,−y2, yz), y S es la superficie que limita el cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1. iv) F(x, y, z) = (x, y, z), y S es una superficie cerrada simple. Solución: i) 24; ii) 5πa4b/4; iii) 3/2; iv) 3|Ω|, donde S = ∂Ω. Problema 4.40 Sea S el cuadrado de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (0, 1, 1) (orientado con la normal de primera coordenada positiva). Se considera también el campo vectorial F(x, y, z) = (xy2, 2y2z, 3z2x). Calcular ∫ S rotF · n de dos maneras distintas (utilizando el Teorema de Stokes). Problema 4.41 Se considera la superficie S = {x2 + y2 + z2 = 1, y ≥ 0} (orientada según la normal exterior a la esfera unidad), y el campo vectorial F(x, y) = (x + z, y + z, 2z). i) Calcular ∫ S rotF · n. ii) Calcular ∫ S F · n. Problema 4.42 Calcula el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (y2, yz, xz) a través de la superficie del tetraedro acotado por x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1, orientada según la normal exterior. Solución: 1/12. Problema 4.43 Supongamos que la temperatura en cada punto del espacio sea proporcional al cuadrado de la distancia al eje vertical, y consideremos el dominio V = { (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ 2z, z ≤ 2 }. i) Calcula el volumen de V . ii) Calcula la temperatura promedio en V . iii) Calcula el flujo del gradiente de temperatura a través (y hacia fuera), de ∂V . Solución: i) 16π/3; ii) α (la constante de proporcionalidad); iii) 32απ. Problema 4.44 Sea S la esfera de radio a orientada con su vector normal exterior, y sea el campo vectorial F(x, y, z) = (sen yz + ez, x cos z + log(1 + x2 + z2), ex 2+y2+z2). Calcula ∫ S F ·n . Solución: 0. Problema 4.45 Sea S = S1 ∪ S2, donde S1 y S2 son las superficies S1 = {x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 } S2 = {x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, z ≥ 1 }, y sea el campo vectorial F(x, y, z) = (zx + z2y + x, z3yx + y, z4x2). i) Calcula ∫ S rot F · n utilizando el teorema de Stokes. 33 ii) Calcula la misma integral utilizando el teorema de la divergencia. Solución: 0. Problema 4.46 Sea h : IR2 → IR una función diferenciable. Halla ∫ ∂Ω F · n, donde n es el vector normal unitario interior a ∂Ω, y F(x, y, z) = ( ey 2+z2 + ∫ x 0 et 2+y2 √ t2 + y2 dt, sen(x2 + ez), h(x, y) ) , Ω = { (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ √ x2 + y2, x ≥ 0, y ≥ 0 }. Solución: π(1− e). Problema 4.47 Considera el campo vectorial F(x, y, z) = ( y ez , ∫ x 0 e−t 2+cos zdt , z(x2 + y2) ) . Calcula ∫ ∂Ω F · n, donde n denota la normal exterior a la frontera del dominio Ω = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 < a2 , x2 + y2 < z2} . Solución: (8− 5√2)πa5/60. 5 Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 5.1 Integrales eulerianas. Problema 5.1 Demuestra las siguientes propiedades de la función gamma Γ(x) = ∫ ∞ 0 tx−1e−tdt, x > 0. i) Γ es continua y derivable. Calcula Γn)(x). ii) Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(1/2) = √ π. iii) Γ(x + 1) = xΓ(x). iv) Deduce de lo anterior que lim x→0+ Γ(x) = +∞. v) Si n ∈ IN , Γ(n + 1) = n!. vi) Si n ∈ IN , Γ ( n + 1 2 ) = (2n)! 22nn! √ π. Problema 5.2 Demuestra las siguientes propiedades de la función beta β(p, q) = ∫ 1 0 xp−1(1− x)q−1dx, p, q > 0. 34 i) β(p, q) = β(q, p). ii) β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) . iii) Si q > 1, entonces β(p, q) = q − 1 p + q − 1β(p, q − 1). iv) Si m,n ∈ IN , (m + n + 1)β(m + 1, n + 1) = ( m + n n )−1 . v) β(p, q) = ∫ ∞ 0 tp−1 (1 + t)p+q dt. vi) β(p, q) = 2 ∫ π/2 0 cos2p−1 t sen2q−1 t dt. vii) β(1/2, 1/2) = π; y como consecuencia, Γ(1/2) = √ π. Problema 5.3 Utilizando las funciones beta y gamma, calcula las siguientes integrales i) ∫ a 0 x2 √ a2 − x2 dx (a > 0) ii) ∫ 1 0 √ t− t2 dt iii) ∫ 1 0 logp(1/x) dx (p > −1) iv) ∫ ∞ 0 dx (1 + x) √ x , v) ∫ ∞ 0 4 √ x (1 + x)2 dx vi) ∫ ∞ 0 dx 1 + x3 , vii) ∫ ∞ 0 x2e−x 4 dx viii) lim n→∞ ∫ ∞ 0 e−x n dx, vii) área de la región H = { |x|n + |y|n ≤ an }. Problema 5.4 Determina para qué valores de α es convergente la integral ∫ π/2 0 tgα x dx reduciéndola a una función euleriana. Calcúlala en los casos en que sea convergente. Problema 5.5 i) Demuestra la fórmula para a, b, c > −1, ∫ D xayb(1− x− y)cdxdy = Γ(a + 1)Γ(b + 1)Γ(c + 1) Γ(a + b + c + 3) , donde D es el triángulo limitado por la recta x + y = 1 y los ejes coordenados. ii) Como aplicación del apartado anterior, prueba que, para p, q, r > 0, ∫ Ω xp−1yq−1zr−1dxdydz = Γ(p)Γ(q)Γ(r) Γ(p + q + r + 1) , con Ω el tetraedro Ω = {x, y, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1 }. 35 ii) f(x) = x ex, iii) f(x) = x cos(ax) (a ∈ IR), iv) f(x) = x2 sen(ax) (a ∈ IR), v) f(x) = sen3x , vi) f(x) = cos3x . Indicación: v) 4 sen3x = 3 senx− sen 3x; vi) 4 cos3x = 3 cosx + cos 3x Solución: i) n!/sn+1, s > 0; ii) 1/(s− 1)2, s > 1; iii) (s2 − a2)/(s2 + a2)2, s > 0; iv) (6as2 − 2a3)/(s2 + a2)3, s > 0; v) 6/[(s2 + 1)(s2 + 9)], s > 0; vi) (s3 + 7s)/[(s2 + 1)(s2 + 9)], s > 0. Problema 5.12 Prueba que si f es continua en [0,∞) y tiene crecimiento exponencial, entonces lo mismo es válido para la función g(x) = ∫ x 0 f(t) dt y que L(g)(s) = 1 s L(f)(s) . Problema 5.13 Utiliza las propiedades de la transformada de Laplace para probar que si f(x) = ∫ ∞ x sen t t dt , entonces L(f ′)(s) = arctg s− π 2 , L(f)(s) = arctg s s . Problema 5.14 Calcula la transformada de Laplace de la función f(x) = x ∫ x 0 e−at sen(bt) dt , a, b ∈ IR . Solución: b(3s2 + 4as + a2 + b2)/(s2((s + a)2 + b2)2). Problema 5.15 i) Expresa la transformada de Laplace de la función f(x) = xα, (α > −1), con ayuda de la función gamma. ii) Halla la transformada de Laplace de las funciones a) f(x) = ex√ x , b) f(x) = xαeax (a ∈ IR, α > −1). Solución: i) Γ(α + 1)/sα+1; ii.a) √ π/(s− 1); ii.b) Γ(α + 1)/(s− a)α+1. 38 Problema 5.16 Halla la función cuya transformada de Laplace es i) 1 s2 − 1 ii) 1 (s + 1)2 iii) 1 s(s + 1)2 iv) 1 sn (n ∈ IN) v) 1 (s− 1)2(s2 + 1) vi) 4s + 12 s2 + 8s + 16 vii) s e−πs/2 s2 + a2 viii) 1√ s . Solución: i) senh x = (ex − e−x)/2; ii) x e−x; iii) 1 − (x + 1) e−x; iv) xn−1/(n − 1)!; v) 12((x − 1)ex + cosx); vi) 4(1− x)e−4x; vii) cos(a(x− π/2)) si x ≥ π/2, 0 si x < π/2; viii) 1/√πx. Problema 5.17 Calcula la integral I = ∫ ∞ 0 sen s s ds siguiendo los pasos: i) Sustituye en la expresión de la integral 1/s por la correspondiente expresión integral respecto de su antitansformada de Laplace. ii) Calcula la transformada de Laplace de la función seno. iii) Comprueba que la integral impropia ∫ ∞ 0 dx 1 + x2 es convergente y halla su valor. iv) ¿Cuánto vale I? Problema 5.18 Sea f : (0,∞) −→ IR una función continua a trozos y con crecimiento expo- nencial. i) Prueba que si f es periódica de peŕıodo P , es decir tal que f(x + P ) = f(x) para todo x > 0, entonces L(f)(s) = 1 1− e−Ps ∫ P 0 e−stf(t) dt . ii) Como aplicación de la fórmula del apartado anterior, calcula la transformada de Laplace de la función f(x) = x− [x], donde [x] denota la parte entera de x. Indicación: i) Divide la integral que define L(f) en dos trozos, uno de 0 a P , y el otro de P hasta infinito, y efectúa un cambio de variable adecuado en el segundo trozo de forma que puedas usar el hecho de que f es periódica. Solución: ii) 1s ( 1 s − 1es−1). 39 5.3 Ecuaciones diferenciales. Problema 5.19 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial i) { y′ − 3y = e2t y(0) = 1 ii) { y′ + 3y = sen 2t y(0) = 0 iii) { y′ − 5y = cos 3t y(0) = 1/2 iv) { y′ − 5y = e5t y(0) = 1/2 v) { y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 0, y′(0) = 1 vi) { y′′ − y = e2t y(0) = 0, y′(0) = 1 vii) { y′′ + 16y = cos 4t y(0) = 0, y′(0) = 1 viii) { y′′ + 2y′ + y = e−3t y(0) = 1, y′(0) = 0 ix) { y′′ − 6y′ + 9y = t2e3t y(0) = 2, y′(0) = 6 x) { y′′ + 4y′ + 6y = 1 + e−t y(0) = 0, y′(0) = 0 xi) { y′′ + 2y′ + 5y = 3e−t sen t y(0) = 0, y′(0) = 3. Solución: i) y(t) = 2e3t − e2t; ii) y(t) = (2e−3t − 2 cos 2t + 3 sen 2t)/13; iii) y(t) = (22e5t − 5 cos 3t + 3 sen 3t)/34; vi) y(t) = (e2t − e−t)/3; vii) y(t) = [(2 + t) sen 4t]/8; viii) y(t) = (e−3t + 3e−t + 6te−t)/4; ix) y(t) = (24 + t4)e3t/12; x); y(t) = (1 + 2e−t − 3e−2t cos(√2 t)− 2√2 e−2t sen(√2 t))/6. Problema 5.20 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial, para t > 0: i) { y′′′(t)− 4y′′(t)− 5y′(t) = 3 y(0) = y′′(0) = 0, y′(0) = 1. ii) { x′′′(t) + x′′(t)− 6x′(t) = 0 x(0) = x′(0) = 0, x′′(0) = 1. Problema 5.21 Resuelve, para ω 6= ω0, el problema de valores iniciales    x′′ + ω20 x = k sen ωt , t > 0 x(0) = x′(0) = 0 que describe las oscilaciones forzadas de una masa en un resorte no amortiguado. ¿Qué pasa si ω = ω0? Indicación: L−1{ 1 (s2+k2)2 } = 1 2k3 (sin kt− kt cos kt). Problema 5.22 Definimos la función de Heaviside (o de salto) mediante H(t) = { 1 si t ≥ 0 0 si t < 0. i) Prueba que L(f(t− a) H(t− a))(s) = e−asL(f(t))(s), a ∈ IR. 40